Perkalian vektor

Mencari arah perkalian silang dengan menggunakan kaidah tangan kanan

Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (objek yang dikalikan) berupa vektor. Tetapi hasil operasi ini tidak selalu adalah vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu produk skalar atau perkalian titik (bahasa Inggris: dot product atau scalar product, perkalian silang (bahasa Inggris: cross product atau vector product atau directed area product) dan perkalian langsung (bahasa Inggris: direct product).

Produk skalar

Produk skalar (atau "perkalian titik") dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

${\displaystyle \!{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}})\cdot (b_{x}{\hat {i}}+b_{y}{\hat {j}}+b_{z}{\hat {k}})}$

${\displaystyle =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}\!}$

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

${\displaystyle {\hat {i}}\cdot {\hat {i}}=1}$

${\displaystyle {\hat {j}}\cdot {\hat {j}}=1}$

${\displaystyle {\hat {k}}\cdot {\hat {k}}=1}$

dan

${\displaystyle {\hat {i}}\cdot {\hat {j}}={\hat {j}}\cdot {\hat {i}}=0}$

${\displaystyle {\hat {j}}\cdot {\hat {k}}={\hat {k}}\cdot {\hat {j}}=0}$

${\displaystyle {\hat {k}}\cdot {\hat {i}}={\hat {i}}\cdot {\hat {k}}=0}$

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker ${\displaystyle \!\delta _{mn}}$, yaitu

${\displaystyle {\hat {m}}\cdot {\hat {n}}=\delta _{mn}}$

Perkalian silang

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

${\displaystyle {\vec {A}}\times {\vec {B}}=(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}})\times (b_{x}{\hat {i}}+b_{y}{\hat {j}}+b_{z}{\hat {k}})}$

${\displaystyle =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}){\hat {i}}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}){\hat {j}}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}){\hat {k}}}$

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

${\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {j}}={\hat {k}}}$

${\displaystyle {\hat {j}}\times {\hat {k}}={\hat {i}}}$

${\displaystyle {\hat {k}}\times {\hat {i}}={\hat {j}}}$

dan

${\displaystyle {\hat {j}}\times {\hat {i}}=-{\hat {k}}}$

${\displaystyle {\hat {k}}\times {\hat {j}}=-{\hat {i}}}$

${\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {k}}=-{\hat {j}}.}$

Perkalian langsung

Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

${\displaystyle {\vec {A}}{\vec {B}}=(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}})(b_{x}{\hat {i}}+b_{y}{\hat {j}}+b_{z}{\hat {k}})}$

${\displaystyle ={\hat {i}}(a_{x}b_{x}){\hat {i}}+{\hat {i}}(a_{x}b_{y}){\hat {j}}+{\hat {i}}(a_{x}b_{z}){\hat {k}}}$

${\displaystyle +{\hat {j}}(a_{y}b_{x}){\hat {i}}+{\hat {j}}(a_{y}b_{y}){\hat {j}}+{\hat {j}}(a_{y}b_{z}){\hat {k}}}$

${\displaystyle +{\hat {k}}(a_{z}b_{x}){\hat {i}}+{\hat {k}}(a_{z}b_{y}){\hat {j}}+{\hat {k}}(a_{z}b_{z}){\hat {k}}}$

Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

${\displaystyle ({\hat {a}})({\hat {b}})={\hat {a}}{\hat {b}}}$

${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {b}}\neq {\hat {b}}{\hat {a}}}$

Lihat pula

• Perkalian (aritmetika dasar)
• Perkalian matriks