Komposisi fungsi

Dalam matematika, komposisi fungsi adalah operasi yang mengambil dua fungsi ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$ dan menghasilkan fungsi ${\displaystyle h=g\circ f}$ sehingga ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$. Fungsi ${\displaystyle g}$ pada operasi ini diterapkan ke dalam hasil penerapan fungsi ${\displaystyle f}$ ke ${\displaystyle x}$. Artinya, fungsi ${\displaystyle f:X\to Y}$ dan ${\displaystyle g:Y\to Z}$ dikomposisikan untuk menghasilkan sebuah fungsi yang memetakan ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$ ke ${\displaystyle g(f(x))}$ di ${\displaystyle Z}$. Secara intuitif, jika ${\displaystyle z}$ adalah fungsi ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle y}$ adalah fungsi ${\displaystyle x}$, maka ${\displaystyle z}$ adalah fungsi ${\displaystyle x}$. Hasil fungsi komposisi yang dinyatakan sebagai ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$, didefinisikan sebagai ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ untuk semua ${\displaystyle x}$ dalam ${\displaystyle X}$.^{[nb 1]}

Notasi ${\displaystyle g\circ f}$ dibaca sebagai "${\displaystyle g}$ komposisi ${\displaystyle f}$" atau "${\displaystyle g}$ bundaran ${\displaystyle f}$". Secara intuitif, mengomposisikan fungsi-fungsi adalah proses perangkaian yang memasukkan nilai keluaran (bahasa Inggris: output) fungsi ${\displaystyle f}$ ke nilai masukan (bahasa Inggris: input) fungsi ${\displaystyle g}$.

Komposisi fungsi adalah sebuah kasus istimewa dari komposisi hubungan. Komposisi fungsi terkadang juga dinyatakan sebagai ${\displaystyle \circ }$. Akibatnya, semua sifat-sifat komposisi relasi adalah benar untuk komposisi fungsi, contohnya seperti sifat asosiatif.^[1] Namun komposisi fungsi berbeda dari perkalian fungsi, dan memiliki beberapa sifat-sifat yang cukup berbeda. Penjelasan secara khususnya, komposisi fungsi tidak memiliki sifat komutatif.^[2]

Contoh-contoh

Contoh konkret tentang komposisi dari dua fungsi.

Contoh komposisi fungsi biasanya melibatkan himpunan hingga dan himpunan takhingga.

• Komposisi fungsi pada himpunan hingga: Jika ${\displaystyle f=\{(1,1),(2,3),(3,1),(4,2)\}}$, dan ${\displaystyle g=\{(1,2),(2,3),(3,1),(4,2)\}}$, maka ${\displaystyle g\circ f=\{(1,2),(2,1),(3,2),(4,3)\}}$. Lihat di gambar.
• Komposisi fungsi pada himpunan takhinggaː Jika ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ (dengan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ adalah himpunan dari semua bilangan real) dinyatakan, sebagai contoh, ${\displaystyle f(x)=2x+4}$ dan ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dinyatakan, sebagai contoh pula, ${\displaystyle g(x)=x^{3}}$, maka

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{3})=2x^{3}+4}$

dan

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+4)=(2x+4)^{3}}$.

Selain contoh di atas, komposisi fungsi juga diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh,

• Jika sebuah ketinggian pesawat terbang pada waktu ${\displaystyle t}$ adalah ${\displaystyle a(t)}$ dan tekanan udara pada ketinggian ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle p(x)}$, maka ${\displaystyle (p\circ a)(t)}$ adalah tekanan di sekitar pesawat pada waktu ${\displaystyle t}$.

Sifat-sifat komposisi fungsi

Komposisi fungsi selalu asosiatif.^[1] Artinya, jika ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, dan ${\displaystyle h}$ terkomposisikan, maka ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$.^[3] Biasanya, tanda kurung dihilangkan karena tidak mengubah hasil komposisi fungsi tersebut.

Penjelasan singkatnya, komposisi ${\displaystyle g\circ f}$ hanya berarti bahwa jika kodomain ${\displaystyle f}$ sama dengan domain ${\displaystyle g}$. Namun dalam penjelasan yang lebih luas, komposisi ${\displaystyle g\circ f}$ cukup dikatakan bahwa fungsi pertama merupakan himpunan bagian dari fungsi terakhir.^{[nb 2]} Bahkan, hal tersebut seringkali membatasi domain ${\displaystyle f}$ secara diam-diam, sehingga ${\displaystyle f}$ hanya menghasilkan nilai dalam domain ${\displaystyle g}$. Sebagai contoh, komposisi ${\displaystyle g\circ f}$ dari fungsi f : ℝ → (−∞,+9] dinyatakan sebagai fungsi ${\displaystyle f(x)=9-x^{2}}$, dan g : [0,+∞) → ℝ yang dinyatakan sebagai fungsi ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$, dapat dinyatakan pada interval ${\displaystyle [-3,+3]}$.

Komposisi dua fungsi real, nilai mutlak dan sebuah fungsi kubik, dalam urutan yang berbeda, memperlihatkan sifat yang tidak bersifat komutatif pada komposisi fungsi tersebut.

Fungsi ${\displaystyle g}$ dan ${\displaystyle f}$ dikatakan komutatif dengan satu sama lain jika ${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$, karena komutatif adalah sebuah sifat yang istimewa, yang hanya didapatkan dengan fungsi khusus dan seringkali dalam keadaan khusus. Sebagai contoh, ${\displaystyle \left|x\right|+3=\left|x+3\right|}$ hanya ketika ${\displaystyle x\geq 0}$.

Komposisi dari fungsi injektif selalu injektif. Mirip dengan sebelumnya, komposisi dari fungsi surjektif selalu surjektif. Jadi, komposisi dari dua fungsi bijeksi juga bijeksi. Kebalikan dari komposisi fungsi memiliki sifat ${\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}$.^[4]

Turunan komposisi fungsi yang melibatkan fungsi terdiferensialkan dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai. Namun, turunan tingkat tinggi dari fungsi tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus Faà di Bruno.^[3]

Monoid komposisi

Artikel utama: Monoid transformasi

Misalkan komposisi fungsi mempunyai dua fungsi lebih ${\displaystyle f:X\to X}$, ${\displaystyle g:X\to X}$ yang memiliki domain dan kodomain yang sama, maka komposisi fungsi tersebut dapat dibentuk rantai dari transformasi yang dikomposisi bersama, contohnya seperti ${\displaystyle f\circ f\circ g\circ f}$. Rantai tersebut memiliki struktur aljabar dari sebuah monoid, yang disebut sebagai monoid komposisi atau (istilah yang jarang dipakai disebut) monoid transformasi. Biasanya, monoid transformasi dapat memiliki struktur yang sangat rumit. Contoh penting yang terkait dengannya adalah kurva de Rham. Himpunan semua fungsi ${\displaystyle f:X\to X}$ disebut semigrup transformasi penuh (bahasa Inggris: full transformation group)^[5] atau semigrup simetris (bahasa Inggris: symmetric semigroup)^[6] pada ${\displaystyle X}$. (Sebenarnya hal ini dapat mendefinisikan dua semigrup tergantung bagaimana caranya mendefinisikan operasi semigrup sebagai komposisi fungsi dari kiri atau dari kanan.^[7])

Kesebangunan yang mengubah segitiga ${\displaystyle EFA}$ menjadi segitiga ${\displaystyle ATB}$ merupakan komposisi dari dilatasi ${\displaystyle H}$ dan rotasi ${\displaystyle R}$, dengan pusat ${\displaystyle S}$. Sebagai contoh, citra ${\displaystyle A}$ terhadap rotasi ${\displaystyle R}$ adalah ${\displaystyle U}$, yang berarti ditulis ${\displaystyle R(A)=U}$, dan ${\displaystyle H(U)=B}$ berarti bahwa pemetaan ${\displaystyle H}$ mengubah ${\displaystyle U}$ menjadi ${\displaystyle B}$. Jadi, ${\displaystyle H(R(A))=(H\circ R)(A)=B}$.

Jika transformasi adalah bijektif (dan akibatnya transformasinya dikatakan terbalikkan), maka himpunan dari semua kombinasi dari fungsi-fungsi ini kemungkinan membentuk sebuah grup transformasi, dan adapula yang mengatakan bahwa grupnya dihasilkan oleh fungsi-fungsi ini.

Teorema Cayley, teorema yang menjelaskan hasil dasar dalam teori grup, mengatakan bahwa setiap grup isomorfimis ke subgrup dari grup permutasi.^[8] Himpunan dari semua fungsi bijektif ${\displaystyle f:X\to X}$ (yang disebut permutasi) membentuk sebuah grup terhadap komposisi fungsi. Grup tersebut disebut grup simetri, atau terkadang juga disebut grup komposisi.

Dalam semigrup simetrik (dari semua transformasi), ada juga yang menemukan gagasan tidak unik dan lebih lemah mengenai invers (yang disebut invers-semu), karena semigrup simetrik merupakan semigrup reguler.^[9]

Pangkat fungsional

Artikel utama: Fungsi teriterasi

Fungsi ${\displaystyle f:X\to Y}$ dapat mengomposisikan dengan dirinya sendiri, jika ${\displaystyle Y}$ adalah subhimpunan dari ${\displaystyle X}$. Terkadang secara simbolis, hal ini dinyatakan dalam bentuk perpangkatan fungsi. Sebagai contoh,

• ${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$
• ${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$
• ${\displaystyle (f\circ f\circ f\circ )(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)}$

Lebih umumnya lagi, untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle n\geq 2}$, pangkat fungsional ke-${\displaystyle n}$ dapat didefinisikan secara induktif dengan${\displaystyle f^{n}=f\circ f^{n-1}=f^{n-1}\circ f}$. Notasi ini diperkenalkan oleh Hans Heinrich Bürmann^{[butuh rujukan][10][11]} dan John Frederick William Herschel.^{[10][11][12][13]} Komposisi berulang dari fungsi tersebut dengan sendirinya disebut fungsi teriterasi.

• Menurut konvensi, ${\displaystyle f^{0}}$ didefinisikan sebagai pemetaan identitas pada domain ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$.
• Bahkan jika ${\displaystyle Y=X}$ dan ${\displaystyle f:X\to X}$ memuat fungsi invers ${\displaystyle f^{-1}}$, maka perpangkatan fungsional negatif ${\displaystyle f^{-n}}$ didefinisikan untuk ${\displaystyle n>0}$ sebagai perpangkatan negatif dari fungsi inversː ${\displaystyle f^{-n}=\left(f^{-1}\right)^{n}}$.^[10][11][12]

Selain itu, gagasannya dapat diperumum sehingga perhitungan berulang menjadi parameter kontinu, dalam kasus ini. Sistem tersebut dinamakan alir, yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan Schröder. Fungsi yang berulang dan alir terjadi secara alami dalam studi fraktal dan sistem dinamikal.

Sayangnya, notasi pangkat fungsional memiliki makna yang bersifat ambigu. Sebagai contoh, jika ${\displaystyle f}$ mengambil nilainya dari gelanggang (khususnya untuk ${\displaystyle f}$ bernilai real atau kompleks), maka yang ada menimbulkan kebingungan. Hal ini karena notasi ${\displaystyle f^{n}}$ juga dapat diartikan sebagai darab ${\displaystyle n}$-lipat dari ${\displaystyle f}$, misalnya ${\displaystyle f^{2}(x)=f(x)f(x)}$. Selain itu, dalam fungsi trigonometri, notasi yang terakhir biasanya mengartikan setidaknya untuk eksponen positif.^[11] Notasi superskrip tersebut mewakili eksponensiasi, contohnya ${\displaystyle \sin ^{2}x=\sin x\cdot \sin x}$. Namun, adapula eksponen bernilai negatif. Biasanya, eksponen bernilai negatif (khususnya hanya untuk ${\displaystyle -1}$) merujuk pada fungsi invers, contohnya, ${\displaystyle \tan ^{-1}}$ mengartikan invers dari tangen, bukan ${\textstyle {\frac {1}{\tan }}}$.

Pencegahan keambiguan pada notasi pangkat fungsional dapat dilihat di sini.

Pangkat fungsional berupa pecahan

Dalam beberapa kasus, ketika, untuk fungsi ${\displaystyle f}$ yang dinyatakan sebagai persamaan ${\displaystyle g\circ g=f}$ mempunyai sebuah penyelesaian tunggal ${\displaystyle g}$, maka fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat fungsional ${\displaystyle f}$, yang dinyatakan sebagai ${\displaystyle g=f^{1/2}}$. Lebih umumnya lagi, jika ${\displaystyle g^{n}=f}$ mempunyai sebuah penyelesaian tunggal untuk suatu bilangan asli ${\displaystyle n>0}$, maka ${\displaystyle f^{m/n}}$ dapat didefinisikan sebagai ${\displaystyle g^{m}}$.

Notasi alternatif

Dalam cabang teori grup, banyak matematikawan menghilangkan simbol pada operasi komposisi fungsi, yaitu simbol bundar. Dengan kata lain, mereka menulis ${\displaystyle gf}$ alih-alih ${\displaystyle g\circ f}$.^[14]

Pada pertengahan abad ke-20, ada beberapa matematikawan mengatakan bahwa menulis "${\displaystyle g\circ f}$" mengartikan "terapkan fungsi ${\displaystyle f}$ dahulu, lalu terapkan fungsi ${\displaystyle g}$" terlalu membingungkan dan memutuskan untuk mengubah notasi tersebut. Mereka menulis "${\displaystyle xf}$" untuk "${\displaystyle f(x)}$" dan "${\displaystyle (xf)g}$" untuk "${\displaystyle g(f(x))}$".^[15] Penulisan ini dapat lebih alami dan tampak lebih sederhana daripada menulis fungsi di sebelah kiri dalam beberapa cabang matematika, misalnya dalam aljabar linear, ketika ${\displaystyle x}$ adalah vektor baris dan ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$ melambangkan matriks dan komposisinya dilambangkan dengan perkalian matriks. Notasi alternatif yang ditulis tadi disebut notasi postfiks. Urutan komposisi fungsi tersebut penting karena tidak memerlukan sifat komutatif, contohnya seperti perkalian matriks. Transformasi penerusnya menerapkan dan menyusun ke kanannya agar sesuai dengan urutan pembacaan dari kiri-ke-kanan.

Para matematikawan yang menggunakan notasi postfiks dapat menulis "${\displaystyle fg}$", yang berarti "terapkan ${\displaystyle f}$ dahulu, kemudian terapkan ${\displaystyle g}$," Hal ini disesuaikan dengan urutan simbol-simbol yang terjadi dalam notasi postfiks, sehingga membuat notasi "${\displaystyle fg}$" menjadi ambigu.

Para ilmuwan komputer dapat menulis "${\displaystyle f;g}$",^[16] namun hal ini mengakibatkan urutan komposisi fungsi menjadi disambiguasi. Agar dapat membedakan operator komposisi kiri dari semikolon teks, dalam notasi Z, karakter ⨾ digunakan untuk mengartikan komposisi relasi kiri.^[17] Karena semua fungsi adalah relasi biner, maka hal ini benar untuk semikolon [tebal] yang dipakai sebagai komposisi fungsi juga (lihat artikel komposisi relasi untuk mengetahui lebih banyak tentang notasi tersebut).

Notasi alternatif untuk pangkat fungsional

Selain itu, notasi pangkat fungsional juga mempunyai pengertian yang bersifat ambigu. Untuk menghindari hal tersebut, beberapa matematikawan^{[butuh rujukan]} menggunakan simbol ${\displaystyle \circ }$ untuk melambangkan pengertian komposisional, dengan menulis ${\displaystyle f^{\circ n}(x)}$ sebagai iterasi ke-${\displaystyle n}$ dari fungsi ${\displaystyle f(x)}$, sebagai contoh, ${\displaystyle f^{\circ 3}(x)}$ berarti ${\displaystyle f(f(f(x)))}$. Benjamin Peirce menggunakan notasi ${\displaystyle f^{[n]}(x)}$,^[11][18] sedangkan Alfred Pringsheim dan Jules Molk menyarankan untuk menggunakan notasi ${\displaystyle ^{n}\!f(x)}$.^{[11][19][nb 3]}

Fungsi multivariabel

Komposisi parsial dapat berlaku untuk fungsi multivariabel. Pada beberapa konteks dalam teknik komputer, fungsinya dihasilkan ketika ada suatu argumen ${\displaystyle x_{i}}$ dari fungsi ${\displaystyle f}$ yang digantikan dengan fungsi ${\displaystyle g}$. Ini disebut komposisi ${\displaystyle f}$ dan ${\displaystyle g}$, dan secara simbolis dilambangkan sebagai ${\displaystyle f\mid _{x_{i}=g}}$.

${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

Ketika ${\displaystyle g}$ adalah konstanta sederhana ${\displaystyle b}$, maka komposisinya merosot menjadi penilaian (parsial). Hasil dari komposisi tersebut juga dikenal sebagai pembatasan atau ko-faktor.^[20]

${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

Biasanya, komposisi fungsi banyak variabel dapat melibatkan beberapa fungsi lainnya sebagai argumen, seperti dalam definisi fungsi rekursif primitif. Penjelasan lebih lanjut, misalkan ${\displaystyle f}$ adalah fungsi ${\displaystyle n}$-er dan ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ adalah fungsi ${\displaystyle m}$-er, maka komposisi ${\displaystyle f}$ dengan ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ adalah fungsi ${\displaystyle m}$-er.

${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))}$.

Komposisi fungsi di atas terkadang disebut komposit perumuman atau superposisi dari ${\displaystyle f}$ dengan ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$.^[21] Seperti yang disebutkan sebelumnya, komposisi parsial yang hanya dalam satu argumen dapat dipakai dari skema yang lebih umum dengan membuat semua fungsi argumen, kecuali merupakan fungsi proyeksi. Fungsi ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ dapat dipandang sebagai fungsi vektor tunggal atau fungsi bernilai tupel dalam skema yang umum ini, dan ini merupakan definisi standar dari komposisi fungsi yang tepat.^[22]

Himpunan operasi finiter pada suatu himpunan dasar ${\displaystyle X}$ disebut klon jika ia memuat semua proyeksi dan tertutup terhadap komposisi perumuman. Perhatikan bahwa klon biasanya memuat operasi berbagai ariter. Perumuman menarik dari gagasan tentang pertukaran dari komposisi fungsi multivariabel tersebut mengatakan: fungsi ${\displaystyle f}$ ariter ${\displaystyle n}$ dikatakan komutatif dengan fungsi ${\displaystyle g}$ ariter ${\displaystyle m}$ jika ${\displaystyle f}$ adalah fungsi kekal homomorfisme ${\displaystyle g}$, dan begitupula dengan sebaliknya. Ini dirumuskan sebagai^[21]

${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

Operasi uner selalu komutatif dengan dirinya sendiri, tetapi pernyataan ini tidak sepenuhnya benar untuk sebuah operasi biner (atau operasi ariter yang lebih tinggi). Operasi biner (atau operasi ariter yang lebih tinggi) yang komutatif dengan dirinya disebut medial atau entropik.^[21]

Perumuman

Perumuman komposisi ke relasi biner sebarang mengatakan bahwa jika ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ dan ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z}$ merupakan dua relasi biner, maka komposisi ${\displaystyle R\circ S}$ adalah relasi yang didefinisikan sebagai ${\displaystyle \{(x;z)\in X\times Z:\exists y\in Y,(x,y)\in R\wedge (y,z)\in S\}}$. Untuk memahaminya lebih lanjut, anggaplah sebuah fungsi sebagai sebuah kasus istimewa dari relasi biner (yaitu relasi fungsional), maka komposisi fungsi memenuhi definisi tentang komposisi relasi. Sebuah lingkaran kecil pada notasi komposisi ${\displaystyle R\circ S}$ digunakan untuk notasi infiks dari komposisi relasi, dan juga untuk fungsi. Namun ketika simbol tersebut dipakai untuk mewakili komposisi fungsi ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$, maka urutan teksnya dibalik agar menjelaskan berbagai urutan operasi.

Komposisinya didefinisikan dengan cara yang sama untuk fungsi parsial, dan teorema Cayley mempunyai pernyataan yang menyerupai teorema Wagner–Preston.^[23]

Kategori himpunan dengan fungsi sebagai morfisme merupakan kategori prototipikal. Aksioma dari sebuah kategori sebenarnya terinspirasi dari sifat-sifat (dan juga definisi) komposisi fungsi.^[24] Strukturnya dinyatakan dengan komposisi yang bersifat aksiomatisasi dan diperumum dalam teori kategori dengan konsep morfisme sebagai fungsi pengganti teoretis-kategori. Kebalikan urutan komposisi dalam rumus ${\displaystyle (f\circ g)^{-1}=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)}$ berlaku untuk komposisi relasi yang menggunakan relasi sebalik, dan demikian juga dalam teori grup. Struktur ini membentuk kategori belati.

Tipografi

Simbol komposisi ${\displaystyle \circ }$ memiliki kode dalam Unicode, yaitu U+2218 ∘ ring operator (HTML: ∘). Namun simbol komposisi dalam markah TeX ditulis sebagai\circ.

Lihat pula

• Akar kuadrat fungsional
• Alir (matematika)
• Dekomposisi fungsional
• Fungsi berulang
• Fungsi tingkat tinggi
• Fungsi variabel acak, sebaran fungsi dari variabel acak
• Gelanggang komposisi, aksiomatisasi formal dari operasi komposisi
• Kalkulus Lambda
• Komposisi fungsi (ilmu komputer)
• Komposisi takhingga fungsi analitik
• Logika kombinasi
• Operator komposisi
• Plot sarang laba-laba – teknik grafik tentang komposisi fungsional

Catatan

1. Ada beberapa penulis yang menggunakan f ∘ g : X → Z, yang didefinisikan dengan (f ∘ g )(x) = g(f(x)). Biasanya ini terjadi ketika memakai notasi postfiks , khususnya jika fungsi diwakili dengan eksponen, contohnya, dalam studi tindakan grup. Lihat Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Permutation groups. Springer. hlm. 5. ISBN 0-387-94599-7. 
2. Contohnya, dalam teori kategori, Komposisi fungsi dijelaskan secara singkat, dengan relasi subhimpunan dimodelkan secara eksplisit melalui fungsi inklusi.
3. Alfred Pringsheim dan Jules Molk menggunakan notasi ⁿf(x) untuk melambangkan komposisi fungsi. Namun, jangan bingung dengan notasi Rudolf von Bitter Rucker ⁿx, yang diperkenalkan oleh Hans Maurer dan Reuben Louis Goodstein karena notasi tersebut mengartikan tetrasi, atau notasi David Patterson Ellerman ⁿx yang mengartikan akar ke-${\displaystyle n}$.

Referensi

1. Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. hlm. 232. ISBN 978-1-139-45097-3. 
2. "3.4: Composition of Functions". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2020-01-16. Diakses tanggal 2020-08-28. 
3. Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-28. 
4. Rodgers, Nancy (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. hlm. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9. 
5. Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. hlm. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1. 
6. Grillet, Pierre A. (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. hlm. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4. 
7. Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction. SIAM. hlm. 8. ISBN 978-0-89871-569-9. 
8. Carter, Nathan (2009-04-09). Visual Group Theory. MAA. hlm. 95. ISBN 978-0-88385-757-1. 
9. Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. hlm. 24. ISBN 978-1-84800-281-4. 
10. Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. hlm. 1–13 [5–6]. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-04. Diakses tanggal 2020-08-04.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) [1] (NB. Inhere, Herschel refers to his Templat:Citeref and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)
11. Cajori, Florian (1952) [March 1929]. "§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions". A History of Mathematical Notations. 2 (edisi ke-3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd). Chicago, USA: Open court publishing company. hlm. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Diakses tanggal 2016-01-18. […] §473. Iterated logarithms […] We note here the symbolism used by Pringsheim and Molk in their joint Encyclopédie article: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."Templat:Citeref […] §533. John Herschel's notation for inverse functions, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, etc., was published by him in the Philosophical Transactions of London, for the year 1813. He says (Templat:Citeref): "This notation cos.⁻¹ e must not be understood to signify 1/cos. e, but what is usually written thus, arc (cos.=e)." He admits that some authors use cos.^m A for (cos. A)^m, but he justifies his own notation by pointing out that since d² x, Δ³ x, Σ² x mean dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, we ought to write sin.² x for sin. sin. x, log.³ x for log. log. log. x. Just as we write d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, we may write similarly sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Some years later Herschel explained that in 1813 he used fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, Burmann, has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan⁻¹, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."Templat:Citeref […] §535. Persistence of rival notations for inverse function.— […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in Benjamin Peirce's books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."Templat:Citeref […] §537. Powers of trigonometric functions.—Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin x, namely, (sin x)², sin x², sin² x. The prevailing notation at present is sin² x, though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin² x two interpretations suggest themselves; first, sin x · sin x; second,Templat:Citeref sin (sin x). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log² x, where log x · log x and log (log x) are of frequent occurrence in analysis. […] The notation sinⁿ x for (sin x)ⁿ has been widely used and is now the prevailing one. […]  (xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)
12. Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR 107384.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
13. Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (dalam bahasa Prancis). IV. hlm. 229. 
14. Ivanov, Oleg A. (2009-01-01). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Society. hlm. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1. 
15. Gallier, Jean (2011). Discrete Mathematics. Springer. hlm. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2. 
16. Barr, Michael; Wells, Charles (1998). Category Theory for Computing Science (PDF). hlm. 6. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-04. Diakses tanggal 2014-08-23.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) (NB. This is the updated and free version of book originally published by Prentice Hall in 1990 as ISBN 978-0-13-120486-7.)
17. ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
18. Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces. I (edisi ke-new). Boston, USA. hlm. 203. 
19. Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (dalam bahasa Prancis). I. hlm. 195. Part I. 
20. Bryant, R. E. (August 1986). "Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis" (PDF). IEEE Transactions on Computers. C–35 (8): 677–691. doi:10.1109/tc.1986.1676819.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
21. Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. hlm. 79–80, 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6. 
22. Tourlakis, George (2012). Theory of Computation. John Wiley & Sons. hlm. 100. ISBN 978-1-118-31533-0. 
23. Lipscomb, S. (1997). Symmetric Inverse Semigroups. AMS Mathematical Surveys and Monographs. hlm. xv. ISBN 0-8218-0627-0. 
24. Hilton, Peter; Wu, Yel-Chiang (1989). A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. hlm. 65. ISBN 978-0-471-50405-4. 

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Composite function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.