Barisan

Bilangan segitiga membentuk barisan

Dalam matematika, barisan[1] (atau banjar[2], atau bahkan secara istilah terkelirukan dengan deret) secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan, fungsi, peubah acak, dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu[3]. Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu[4]. Benda dengan indeks i disebut suku ke-i. Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebut panjang barisan.

Berbeda dengan himpunan, urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E ,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.

Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi dengan daerah asalnya adalah bilangan asli[5].

Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan seperti barisan aritmatika dan barisan geometri, atau yang dibentuk dengan aturan tertentu seperti barisan Fibonacci dan barisan bilangan prima. Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.

Penulisan barisan

Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yang berbaris. Masing-masing anggota barisan disebut suku dan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang , yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yakni dikaitkan dengan , dikaitkan dengan , dan seterusnya. Dengan pengertian fungsi, dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli untuk sebarang himpunan dengan nilai [6]. Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang atau atau [7] atau [8].

Penentuan barisan

Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:

  • mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
  • menyuratkan rumus suku umumnya,
  • relasi perulangan
  • menerangkannya dengan kalimat.

Mendaftarkan suku-sukunya

Sepuluh rumus barisan dengan suku awal dengan suku keempat yang berbeda diperoleh dengan interpolasi sukubanyak Lagrange.

Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai . Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti . Jika barisan itu tak hingga, biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisan yang merupakan barisan bilangan genap.

Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisan adalah barisan bilangan asli . Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan . Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu Antara dugaan yang mungkin adalah . Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digit pi, yaitu . Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.

Menyuratkan rumus suku umumnya

Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku

  • barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai ,
  • barisan Barisan tanda dirumuskan sebagai .
  • barisan aritmatika dengan suku awal dan beda dua suku berurutan dirumuskan sebagai ,
  • barisan geometri dengan suku awal dan perbandingan dua suku berurutan dirumuskan sebagai .

Relasi perulangan

Spiral rasio emas, yang dibentuk dengan pengubinan dengan persegi-persegi yang membentuk barisan Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,..)

Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalah barisan Fibonacci dengan syarat awal dan Juga barisan Recamán yang didefinisikan denganBarisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu . untuk barisan aritmatika, dan untuk barisan geometri.

Penerapan barisan

Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertian fungsi[6], ruang, dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang kajian analisis matematis, seperti pengertian limit fungsi, pengertian turunan, dan pengertian integral Riemman.

Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalah pencacahan.

Sifat barisan

Kemonotonan barisan

Suatu barisan dikatakan:

  • monoton naik apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,
  • monoton naik sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,
  • monoton turun apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,
  • monoton turun sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat berlaku ,

Barisan terbatas

Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku . Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku . Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.

Kekonvergenan barisan

Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatu fungsi jarak, barisan dikatakan konvergen menuju jika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan ketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakan divergen apabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebut barisan Cauchy. Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.

Lihat juga

Jenis

Konsep terkait

Operasi

Referensi

  1. ^ Kerami, Djari; Sitanggang, Cormentya (2003). Kamus Matematika. Jakarta: Balai Pustaka. 
  2. ^ Panggabean, A.B (2014). Kalkulus Tingkat Lanjut. Yogyakarta: Graha Ilmu. ISBN 978-602-262-264-2. 
  3. ^ Spiegel, Murray R. (1986). Teori dan soal-soal matematika dasar. Diterjemahkan oleh Drs. Kasir Iskandar, M.Sc. Jakarta: Erlangga. OCLC 975000500. 
  4. ^ Kulpers, L.; Meulenbeld, R.; Rawuh (1973). Permulaan Hitung Diferensial dan Integral IA. Jakarta: Pradnya Paramita. 
  5. ^ Afidah Khairunnisa (2018). Matematika Dasar. Depok: Rajawali Pers. ISBN 978-979-769-764-8. 
  6. ^ a b Julan Hernadi (2015). Analisis Real Elementer: dengan Ilustrasi Grafis dan Numerik. Jakarta: Erlangga. ISBN 978-602-298-591-4. 
  7. ^ Endang Cahya; Makbul Muksar (2011). Analisis Real. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-979-011-674-0. 
  8. ^ Hendra Gunawan (2016). Pengantar Analisis Real. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 978-602-7861-58-9. 

Pranala luar

Read other articles:

Intento del golpe de Estado de Gabón de 2019 Máquinas del Ejército de Gabón en las calles de Libreville durante el intento de golpe de Estado.Fecha 7 de enero de 2019Lugar Gabón GabónCausas Crisis políticaResultado El presidente Ali Bongo nombra a Julien Nkoghe Bekale como nuevo primer ministro de GabónPartes enfrentadas Gobierno de Gabón Fuerzas Armadas de Gabón Disidencia de las Fuerzas Armadas de Gabón Figuras políticas Ali Bongo Kelly Ondo Obiang Saldo 2 muertos 8 militar...

 

 

عدل بوابة الأمازيغ ماسينيسا هو شعب من شعوب شمال أفريقيا يسكن غرب النيل وشمال المغرب الكبير وغالب الأمم عليها. أما الإغريق فقد أطلقوا عليهم اسم المازيس (Mazyes)، كما أن المؤرخ اليوناني هيرودوتس أشار إلى الأمازيغ بالكلمة (ماكسيس) (Maxyes)، والكلمتان معًا تشبهان في مخارجهما لفظة مازي

 

 

Ядерный реактор на растворах солей — гомогенный ядерный реактор, активная зона которого представляет собой раствор соли ядерного топлива (урана, плутония, тория) в воде (обычной или тяжелой), которая служит замедлителем. Преимуществами такого реактора являются компа...

Primera División Profesional de Uruguay 2010-2011 Competizione Primera División Profesional de Uruguay Sport Calcio Edizione 107ª Organizzatore AUF Date dal 21 agosto 2010 Luogo  Uruguay Partecipanti 16 Risultati Vincitore  Nacional(43º titolo) Retrocessioni  Tacuarembó Miramar Misiones Statistiche Miglior marcatore García (23) Incontri disputati 241 Gol segnati 668 (2,77 per incontro) Cronologia della competizione 2009-2010 2011-2012 Manuale La Primera...

 

 

Ця стаття про комуну. Про село див. Кіажна. комуна КіажнаChiajna Країна  Румунія Повіт  Ілфов Телефонний код +40 21 (Romtelecom, TR)+40 31 (інші оператори) Координати 44°27′32″ пн. ш. 25°58′46″ сх. д.H G O Висота 95 м.н.р.м. Площа 16,1 км² Населення 13 261 (2011) Розташування Розташування ...

 

 

此條目疑似由大量爱好者内容组成。 (2019年3月27日)維基百科不是不經篩選的資訊收集處。請幫助改進這個條目,使用中立的語氣(而不是愛好者或媒體報道的語氣),移除瑣碎的軼事與未經證實的評論、不合適的列表和链接收集等。如條目內有愛好者可能感興趣而不符維基百科收錄標準的內容,可考慮將該等內容移至其他專門描寫動物傳心的百科或網站,或在不存在相關主題

This article relies largely or entirely on a single source. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Turks and Caicos Islands at the 2023 World Athletics Championships – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2023) Sporting event delegationTurks and Caicos Islands at the2023 World Athletics ChampionshipsFlag of the Turks and Caicos IslandsWA codeTKSin Budapest, Hungary19 August ...

 

 

Extended play by BTS Love Yourself: HerDigital coverEP by BTSReleasedSeptember 18, 2017 (2017-09-18)Recorded2017Genre Pop R&B hip hop EDM electro-pop Length30:33LanguageKoreanLabelBig HitLoenUniversalProducerPdoggBTS chronology Wings(2016) Love Yourself: Her(2017) Face Yourself(2018) Singles from Love Yourself: Her DNAReleased: September 18, 2017 MIC DropReleased: November 24, 2017 Love Yourself: Her (stylized as LOVE YOURSELF 承 'Her') is the fifth extended play by So...

 

 

As referências deste artigo necessitam de formatação. Por favor, utilize fontes apropriadas contendo título, autor e data para que o verbete permaneça verificável. (Março de 2021) Esta biografia de uma pessoa viva cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir fontes confiáveis e independentes. Material controverso que esteja sem fontes deve ser imediatamente removido, especialmente se for de natureza difamatória.—Encontre fontes: ABW  • CAPES &#...

اقتصاد سلوفينياعامالدولة سلوفينيا عملة يورو الإحصائياتالناتج الإجمالي 48.77 بليون دولار أمريكي[1](2017) نمو الناتج الإجمالي 2.5 نسبة مئوية[2](2016) نصيب الفرد من الناتج الإجمالي 23601 دولار أمريكي[3](2017) التضخم الاقتصادي (CPI) 0.5 نسبة مئوية[4](2016) المالية العامةإجمالي الا...

 

 

Politeknik AcehDidirikan22 Mei 2008LokasiBanda Aceh, Aceh, IndonesiaKampusUrbanSitus webwww.politeknikaceh.ac.id Politeknik Aceh adalah perguruan tinggi swasta yang terletak di Kota Banda Aceh. Perguruan ini merupakan lembaga pendidikan jenjang D-3 yang berorientasi praktis dalam bidang Teknik Elektronika, Teknik Komputer, Teknik Mekatronika, serta Akuntansi yang diselaraskan dengan kebutuhan kompetensi tenaga kerja industri. Perguruan ini didirikan atas prakarsa Pemerintah Kota Banda Aceh ya...

 

 

Electric Youth (Debbie Gibson)Album studio karya Debbie GibsonDirilis24 Januari 1989Direkam1988GenrePopDurasi58:17LabelAtlanticProduserDebbie Gibson, Fred ZarrAlbum Debbie Gibson Out of the Blue(1987)Out of the Blue1987 Electric Youth(1989) Anything Is Possible(1990)Anything Is Possible1990 Electric Youth (Atlantic LP 81932) adalah album kedua oleh Debbie Gibson, diterbitkan pada 1989 oleh Atlantic Records. Album ini bertahan di #1 Billboard Hot Albums selama 5 minggu, mencapai #8 di tang...

This article contains content that is written like an advertisement. Please help improve it by removing promotional content and inappropriate external links, and by adding encyclopedic content written from a neutral point of view. (September 2023) (Learn how and when to remove this template message) Metropolitan Washington Council of GovernmentsFormation1957; 66 years ago (1957)TypeCouncil of GovernmentsTax ID no. 52-6060391[1]Legal status501(c)(3) nonprofit organiza...

 

 

Arabic dialect of Iraq, Syria, Turkey and Iran North Mesopotamian ArabicMoslawi Arabic, Mesopotamian Qeltu Arabic, Qeltu Arabic, Syro-Mesopotamian Arabicلهجة موصليةNative toIraq, Iran, Syria, Turkey, CyprusSpeakers10 million (2020)[1]Language familyAfro-Asiatic SemiticWest SemiticCentral SemiticArabicMesopotamianNorth Mesopotamian ArabicDialects Anatolian Arabic Judeo-Iraqi Arabic Cypriot Arabic Writing systemArabic alphabetLanguage codesISO 639-3aypGlottolognort31...

 

 

На території Феодосійської міськради перебуває 38 пам'яток архітектури та архітектуроно-археологічних комплексів, з яких 12 — національного значення. № п/п Обліковій номер Найменування пам'ятника дата Місто Розташування Рішення про взяття на облік фото м. Феодосія Націо...

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Klang High School – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2018) (Learn how and when to remove this template message) School in Jalan Meru, Klang, Selangor, MalaysiaKlang High SchoolSMK Tinggi Klang 巴生高等中学 Bā Shēng Gāo Děng Zhong Xué கிள்ள...

 

 

Chuck Norris is Major Scott McCoy on the set of The Delta Force (1986) Chuck Norris is an American actor and martial artist. He has appeared in a number of action films, such as Way of the Dragon, in which he starred alongside Bruce Lee, and was The Cannon Group's leading star in the 1980s.[1][2] He played the starring role in the television series Walker, Texas Ranger, from 1993 to 2001. Film Year Title Role Notes Ref. 1968 The Wrecking Crew Man in the House of 7 Joys Uncredi...

 

 

Season of television series Dragon Quest: The Adventure of DaiSeries 2020The cover of the first Blu-ray volume released by Avex Pictures.Native nameKanjiDRAGON QUEST -ダイの大冒険-Revised HepburnDoragon Kuesuto: Dai no Daibōken Country of originJapanNo. of episodes100ReleaseOriginal networkTXN (TV Tokyo)Original releaseOctober 3, 2020 (2020-10-03) –October 22, 2022 (2022-10-22)Series chronology← PreviousDragon Quest: The Adventure of Dai The 2020 Dragon Quest: T...

Australian government agency, 1990-2004 Aboriginal and Torres Strait Islander CommissionAgency overviewFormed5 March 1990[1]Preceding AgencyDepartment of Aboriginal Affairs Aboriginal Development CommissionDissolved30 June 2005[1]Superseding agencyOffice of Indigenous Policy CoordinationJurisdictionCommonwealth of AustraliaHeadquartersCanberraAgency executivesLowitja O'Donoghue, Chairperson (1990–1996)Gatjil Djerrkura, Chairperson (1996–2000)Geoff Clark, Chairperson (2000...

 

 

The promenade, Blackpool in 1898 The Wakes Week is a holiday period in parts of England and Scotland. Originally a religious celebration or feast, the tradition of the Wakes Week developed into a secular holiday, particularly in North West England during the Industrial Revolution. In Scotland, each city has a Trades Fortnight; two weeks in the summer when tradesmen take their holidays. Although a strong tradition during the 19th and 20th centuries, the observance of the holiday has almost dis...

 

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!