Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Deret Taylor

Seiring dengan meningkatnya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
Fungsi eksponensial (warna biru), dan jumlahan suku ke n+1 awal deret Taylornya di titik 0 and (warna merah).

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (xa)0 dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Kesalahan perkiraan dan konvergensi

Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.
Polinomial Taylor untuk ln(1 + x) hanya memberikan perkiraan yang akurat dalam rentang tersebut −1 < x ≤ 1. Untuk x > 1, Polinomial Taylor dengan derajat yang lebih tinggi memberikan perkiraan yang lebih buruk.
Perkiraan Taylor untuk ln(1 + x) (black). Untuk x > 1, perkiraannya berbeda.

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sin x sekitar intinya x = 0. Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai |x| 99!. Secara khusus, untuk nilai −1 < x < 1, kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai ln(1 + x) dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai a = 0. Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari −1 < x ≤ 1; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.[butuh rujukan]

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai n Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya Rn(x). Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi f konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya f (x). Misalnya Fungsi

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel. Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.[1]


Generalisasi

Namun demikian, ada generalisasi[2][3] dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap terikat dari fungsi kontinu pada nilai (0,∞), menggunakan kalkulus beda hingga. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena Einar Hille, bahwa untuk apa saja t > 0,

Darimana nilai Δnh adalah n Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah h. Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan deret Newton. Saat fungsinya f bersifat analitik di a, istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun ai, identitas deret pangkat berikut berlaku:

Jadi secara khusus,

Hukum jumlah besar menyiratkan bahwa identitas memegang.[4]

Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul.[5] Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks x.

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial ex (berwarna biru), dan jumlah dari yang pertama n + 1 persyaratan seri Taylor-nya di 0 (merah).

Fungsi eksponensial pada (dengan basis e) memiliki deret Maclaurin

.

Hal tersebut menyatu untuk nilai x.

Logaritma natural

Logaritma natural (dengan basis e) memiliki deret Maclaurin

Deret geometris

Deret geometris dan turunannya memiliki deret Maclaurin

Semuanya konvergen untuk . Ini adalah kasus khusus dari of binomial series diberikan di bagian selanjutnya.

Deret Binomial

Deret Binomial adalah deret pangkat

yang koefisiennya adalah koefisien binomial umum

(Jika n = 0, produk ini adalah produk kosong dan memiliki nilai 1.) Menyatu untuk bilangan real atau kompleks apa pun α.

Darimana nilai α = −1, ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus α = 12 dan α = −12 berikan fungsi akar kuadrat dan pembalikan:

Jika hanya suku linier yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi perkiraan binomial.

Perkiraan dalam fungsi

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka Bk muncul dalam perluasan tan x adalah angka Bernoulli. Hal itu Ek dalam perluasan sec x adalah nomor Euler.

Fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

Angka-angka Bk muncul di seri untuk tanh x adalah angka Bernoulli.

Deret Taylor sebagai definisi

Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor dalam beberapa variabel

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan[6][7]

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi yang bergantung pada dua variabel, x dan y, seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya (a, b) is

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial.

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

Darimana D f (a) adalah gradien dari nilai f dievaluasi pada x = a dan D2 f (a) adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

Contoh

Pendekatan deret Taylor orde dua (berwarna oranye) dari suatu fungsi f (x,y) = ex ln(1 + y) di sekitar asalnya.

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik (a, b) = (0, 0) dari fungsi tersebut

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

menghasilkan

Setelah ln(1 + y) bersifat analitik |y| < 1, kita punya

Contoh

Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk (1 − x)−1 merupakan deret geometri

maka deret Taylor untuk x−1 pada a = 1 adalah

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk log(1 − x), di mana log melambangkan logaritma natural:

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada a = 1 adalah

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada suatu a = x0 adalah:

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial ex pada a = 0 adalah

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif ex terhadap x juga adalah ex dan e0 sama dengan 1. Ini menyisakan elemen (x − 0)n pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

Lihat pula

Referensi

  1. ^ Rudin, Walter (1980), Analisis Nyata dan Kompleks, New Dehli: McGraw-Hill, hlm. 418, Exercise 13, ISBN 0-07-099557-5 
  2. ^ Feller, William (1971), Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2 (edisi ke-3rd), Wiley, hlm. 230–232 .
  3. ^ Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Analisis fungsional dan semi-kelompok, Publikasi Kolokium AMS, 31, American Mathematical Society, hlm. 300–327 .
  4. ^ Feller, William (1970). Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya. 2 (edisi ke-3). hlm. 231. 
  5. ^ Sebagian besar dapat ditemukan di (Abramowitz & Stegun 1970).
  6. ^ Lars Hörmander (1990), Analisis operator diferensial parsial, volume 1, Springer, Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′ 
  7. ^ Duistermaat; Kolk (2010), Distribusi: Teori dan aplikasi, Birkhauser, ch. 6 

Pranala luar

Baca informasi lainnya:

Witold Roman Lutosławski Información personalNombre en polaco Witold Lutosławski Nacimiento 25 de enero de 1913 Varsovia - PoloniaFallecimiento 7 de febrero de 1994 (81 años) ibídemSepultura Cementerio Powązki Nacionalidad PolacaFamiliaCónyuge Maria Danuta BogusławskaEducaciónEducado en Universidad de Música Fryderyk ChopinStefan Batory Gymnasium and Lyceum Alumno de Witold Maliszewski Información profesionalOcupación Compositor, pianista y director de orquestaGénero Música clásic…

За друге употребе, погледајте Јован Ристић (вишезначна одредница). Јован РистићЈован РистићЛични подациДатум рођења(1831-01-16)16. јануар 1831.Место рођењаКрагујевац, Кнежевина СрбијаДатум смрти4. септембар 1899.(1899-09-04) (68 год.)Место смртиБеоград, Краљевина СрбијаДр…

Localização da Cidade de Dali (em rosa) e da Prefeitura Autónoma de Dali Bai (em amarelo) na província de Yunnan, China. A Cidade de Dali (em chinês: 大理; pinyin: Dalí; Bai: Darl•lit; Hani: Dafli) é um conselho em nível de cidade da Prefeitura Autónoma de Dali Bai, na Província de Yunnan, China. Geografia Dali está localizada em um planalto fértil entre os montanhas Cangshan a oeste e para o leste do lago Erhai. Ela tem sido tradicionalmente povoado pelas minorias étnicas de Ba…

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يونيو 2019) اضغط هنا للاطلاع على كيفية قراءة التصنيف بق دقيقي   المرتبة التصنيفية جنس  التصنيف العلمي  فوق النطاق  حيويات مملكة عليا  حقيقيات النوى مملكة  ح…

Clash of ClansInformasi produksiPengembangSupercellPenerbitSupercell Data permainanPlatformiOSAndroidGenreStrategiModePemain tunggal, multipemain PerilisanTanggal rilisiOS2 Agustus 2012 (2012-08-02)[1]Android7 Oktober 2013 (2013-10-07)[2]Portal permainan videoL • B • PWBantuan penggunaan templat ini Clash of Clans adalah permainan video strategi seluler freemium yang dikembangkan dan diterbitkan oleh pengembang permainan Finlandia, Supercell. Permainan ini…

Частина інформації в цій статті застаріла. Ви можете допомогти, оновивши її. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. о. Антін Грушецький, ЧСВВНародження 1734(1734)Почаїв, ВолиньСмерть 1798(1798)  СупрасльНаціональність русин (українець)Країна Річ П…

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (نوفمبر 2022) الرواية اللاهوتية هي كتابة خيالية تصوغ مواقف الناس تجاه المعتقدات اللاهوتية.[1] [2] [3] فهو نموذجي تعليمي أو استكشافي أكثر من كونه وصفيًا، [4] وه

Wax or plaster cast made of a person's face following death For the Saint Seiya character, see Cancer Deathmask. For the episode of the television series Rome, see Death Mask (Rome). For the video game titled DeathMask, see Angel Devoid: Face of the Enemy. For the novel, see Death Masks. The death mask of 18th century sailor Richard Parker Golden funeral mask of Tutankhamun Posthumous portrait bust of Henry VII of England by Pietro Torrigiano, supposedly made using his death mask A death mask is…

Perlintasan kereta rel listrik di Jalan Kyai Haji Abdullah Syafei, Tebet Timur, Tebet, Jakarta Selatan. Jalan Kyai Haji Abdullah Syafei adalah jalan utama di Jakarta yang menghubungkan Kampung Melayu dan Jalan Casablanca. Nama jalan ini diambil seorang ulama asal Jakarta Abdullah Syafi'i. Jalan sepanjang 2,1 kilometer membentang dari perempatan jalan Dr. Saharjo - Letjen Soepomo (Manggarai Selatan, Tebet, Jakarta Selatan) sampai persimpangan Terminal Kampung Melayu (Bidara Cina, Jatinegara, Jaka…

Kakawin Negarakertagama Kakawin merupakan wacana puisi yang ditulis dalam bahasa Jawa kuno atau dengan kata atau bahasa lain. Semua wacana puisi berbahasa Jawa kuno disebut dengan kakawin.[1] Secara etimologi, kata kakawin sebagai campuran dari kata Sanskerta kawi 'penyair' serta afiks Jawa (kuno) ka- dan -n, yang berarti 'karya seorang penyair' atau 'syair (puisi) karya penyair'.[2] Beberapa contoh wacana kakawin misalnya Rãmãyana, Bhãratayudha, Arjunawiwãha, Smaradahana, Su…

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Smile, Mom – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Smile, MomGenreDrama Romansa KeluargaDitulis olehKim Soon-okSutradaraHong Sung-changPemeranLee Mi-sook Park Won-sook Ji Soo-won Yoon Jung-hee L…

Men's singles Squash2014 Commonwealth Games5th Men's singles squash at the Commonwealth GamesLocation Glasgow, ScotlandVenueScotstoun Sports CampusDate(s)24–28 July 2014Websitecwgsquash.netCategoryXX Commonwealth Games ← 2010 2018 → Squash at the2014 Commonwealth GamesSinglesmenwomenDoublesmenwomenmixedvte The Squash at the 2014 Commonwealth Games held at the Scotstoun Sports Campus, Glasgow. Singles play took place from 24 July to 28 July.[1] Nick Matthew de…

Aston Martin DBR5 Visão geral Produção 1959 e 1960 Fabricante Aston Martin Modelo Carroceria Monoposto de corrida Designer Ted Cutting Ficha técnica Motor Aston Martin DOHC 6 cilindros de aspiração natural Transmissão David Brown CG537 5 marchas manual Dimensões Peso 575 kg Cronologia Aston Martin DBR5 O Aston Martin DBR4/250, comumente referido simplesmente como o DBR4, é um carro de corrida de Fórmula 1, projetado por Ted Cutting para a fabricante de automóveis esportivos Aston Mart…

2004 Philippine television series Hanggang KailanTitle cardAlso known asCircle of HeartsGenreRomantic dramaCreated by Jimmy Duavit Jose Javier Reyes Mark Reyes Developed byBibeth OrtezaDirected by Jose Javier Reyes Mark A. Reyes Starring Christopher De Leon Lorna Tolentino Alice Dixson Theme music composerOgie AlcasidOpening themeHuwag Ka Lang Mawawala (instrumental)Ending themeHuwag Ka Lang Mawawala by Ogie Alcasid and Aiza SeguerraCountry of originPhilippinesOriginal languageTagalogNo. of epis…

『宣和奉使高麗図経』書影 『宣和奉使高麗図経』(せんなほうしこうらいずきょう、朝鮮語:선화봉사고려도경、略称『高麗図経』)とは、中国宋王朝の徐兢が編纂した朝鮮半島の高麗の史書。全四十卷。徽宗の宣和年間に徐兢は高麗に使節として派遣された。高麗の国都開城に数ヶ月滞在し中国帰国後、見聞した内容をこの書にまとめ、皇帝に献呈した。書には高麗の…

Area of central eastern Tunisia This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Sahel, Tunisia – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2015) (Learn how and when to remove this template message) Ribat of Monastir Amphitheatre of El Jem The Tunisian Sahel (Arabic: الساحل) or more precisely the…

Dirección General de Protocolo, Cancillería y Órdenes Logotipo de la Dirección GeneralLocalizaciónPaís España EspañaInformación generalSigla DGPCOTipo Dirección GeneralSede MadridOrganizaciónIntroductor de Embajadores María Sebastián de Erice García de la Peña.  (Directora general)Depende de Subsecretaría de Asuntos ExterioresEntidad superior Ministerio de Asuntos Exteriores, Unión Europea y Cooperación[editar datos en Wikidata] La Dirección Gener…

Lily-Rose DeppDepp pada tahun 2016LahirLily-Rose Melody Depp27 Mei 1999 (umur 24)Neuilly-sur-Seine, Île-de-France, PrancisWarga negaraPrancisAmerika SerikatPekerjaanAktrisModelTahun aktif2014–sekarangInformasi modelingTinggi5 ft 3 in (160 cm)Warna rambutPirangWarna mataCokelatManajerCAA Lily-Rose Melody Depp (lahir 27 Mei 1999) adalah aktris dan model keturunan Prancis dan Amerika. Ia merupakan anak dari Johnny Depp dan Vanessa Paradis. Depp memulai akting karirnya de…

Peta Estepa (2008). Estepa merupakan sebuah kota yang terletak di wilayah Provinsi Sevilla, Andalusia, Spanyol Lihat juga Daftar munisipalitas di Seville Daftar munisipalitas di Spanyol lbsKota di Provinsi Sevilla Aguadulce Alanís Albaida del Aljarafe Alcalá de Guadaíra Alcalá del Río Alcolea del Río Algámitas Almadén de la Plata Almensilla Arahal Aznalcázar Aznalcóllar Badolatosa Benacazón Bollullos de la Mitación Bormujos Brenes Burguillos Camas Cantillana Carmona Carrión de los C…

2015 American filmOne More TimeTheatrical release posterDirected byRobert EdwardsWritten byRobert EdwardsProduced byLucas JoaquinSaemi KimSaerom KimLars KnudsenChris MaybachFerne PearlsteinJay Van HoyStarringChristopher WalkenAmber HeardKelli GarnerHamish LinklaterAnn MagnusonOliver PlattGavin McInnesCinematographyAnne Etheridge[1]Edited byMollie Goldstein[1]Music byJoe McGinty[2]ProductioncompaniesMaybach Film ProductionsParts and LaborDistributed byStarz DigitalRelease …

Jonathan Clements Jonathan Clements en la Convención mundial de ciencia ficción de 2014Información personalNombre completo Jonathan Michael ClementsNacimiento 9 de julio de 1971Londres, Reino UnidoNacionalidad BritánicaEducaciónEducación doctorado Educado en Universidad de Leeds Información profesionalOcupación Escritor[editar datos en Wikidata] Jonathan Michael Clements (nacido el 9 de julio de 1971) es un autor y guionista británico. Sus obras de no ficción incluyen biograf…

French DJ (born 1969) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Bob Sinclar – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2023) (Learn how and when to remove this template message) Bob …

Cartularium yang dirantai dari Senlis, Oise, utara Prancis Cartularium atau chartularium (/ˈkɑːrtjʊləri/ dari Bahasa Latin; juga disebut pancarta atau codex diplomaticus, merupakan sebuah naskah berjilid atau gulungan (rotulus) yang berisi salinan dari beberapa dokumen asli yang berhubungan dengan yayasan, hak istimewa, hak kodrati dan hak ikhtiyari dari pendirian bangunan keagamaan, perusahaan kota, perhimpunan industri, institusi pendidikan, atau keluarga.[1] Catatan ^ Oxford Engl…

Major League Baseball season This article is about the Major League Baseball team. For the National Football League team, see 1987 St. Louis Cardinals (NFL) season. 1987 St. Louis CardinalsNational League ChampionsNational League East ChampionsLeagueNational LeagueDivisionEastBallparkBusch Memorial StadiumCitySt. Louis, MissouriRecord95–67 (.586)Divisional place1stOwnersAugust Gussie BuschGeneral managersDal MaxvillManagersWhitey HerzogTelevisionKSDK(Jack Buck, Mike Shannon, Jay Randolph)…

Questa voce sull'argomento Stagioni delle società calcistiche italiane è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Voce principale: Gruppo Sportivo Mira. Gruppo Sportivo MiraStagione 1981-1982Sport calcio Squadra Mira Allenatore Mario Tonello Presidente Giuseppe Lissandrin Serie C27º posto nel girone B. Maggiori presenzeCampionato: Marchesin, Romio, Vitulano (34) Miglior marcatoreCampionato: Vit…

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2019) سفارة تايلاند لدى السعودية تايلاند السعودية الإحداثيات 24°41′18″N 46°37′33″E / 24.6883°N 46.6259°E / 24.6883; 46.6259  البلد السعودية  المكان الرياض العنوان حي…

Top: a traditional Latvian plate, mottling detailBottom: a piece by Ingrīda Cepīte, shaped without using potter's wheel Latvian pottery (Latvian: Latvijas podniecība) or Latvian ceramics (Latvijas keramika) is one of the country's oldest art forms, dating back to the Neolithic. The best-known subset of Latvian pottery is Latgalian pottery (Latgalian: Latgolys pūdnīceiba, Latvian: Latgales podniecība). The eastern region of Latgale is the most prolific producer of wares. As a rule, Latvian …

Robot HERO (Heathkit Educational RObot) is a series of several educational robots sold by Heathkit during the 1980s. The Heath Company began the HERO 1 project in October 1979, with the first release in 1982.[1] Models include the HERO 1, HERO Jr., and HERO 2000. Heathkit supported the HERO robot line until 1995. All three were produced as kits, or for more money, prebuilt by Heathkit. The 1980s models are considered collectors items, due to their rarity.[2] For the most part, th…

This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: XPL Protocol – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2008) (Learn how and when to remove this template message) xPL is an open protocol intended to permit the control and monitoring of home automation devices. The primary design goal of xPL is to provide a rich set of features and functionalit…

Pemilihan umum Malawi 20142009201920 Mei 2014 (2014-05-20)7,537,548 pemilih terdaftar[1]suara sah untuk menangKehadiran pemilih5,288,258 (70.78%)[2]Kandidat   Calon Peter Mutharika Lazarus Chakwera Joyce Banda Partai DPP MCP PP Suara Rakyat 1,904,399 1,455,880 1,056,236 Persentase 36.4% 27.8% 20.2% Presiden petahanaJoyce Banda PP Presiden Peter Mutharika DPP Sunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Pemilihan umum digelar di Malawi pada…

Kembali kehalaman sebelumnya