Batas (topologi)

Suatu himpunan (berwarna biru muda) dan batasnya (berwarna biru tua).

Dalam topologi dan matematika, batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan ${\displaystyle S}$ dari ruang topologis ${\displaystyle X}$ merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari ${\displaystyle S}$ dan dari luar ${\displaystyle S}$. Lebih tepatnya, batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan ${\displaystyle S}$ bukan merupakan milik interior ${\displaystyle S}$. Sebuah unsur dari batas ${\displaystyle S}$ disebut titik batas ${\displaystyle S}$, dan istilah operasi batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan ${\displaystyle S}$ di antaranya ${\displaystyle \operatorname {bd} (S)}$, ${\displaystyle \operatorname {fr} (S)}$, dan ${\displaystyle \partial S}$.

Definisi umum

Ada beberapa definisi yang ekuivalen mengenai batas himpunan bagian ${\displaystyle S\subseteq X}$ dari ruang topologis ${\displaystyle X}$ yang dapat dilambangkan sebagai ${\displaystyle \partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} _{X}S,}$ atau cukup ditulis ${\displaystyle \partial S}$:

1. Batas himpunan merupakan ketertutupan ${\displaystyle S}$ dikurangi interior ${\displaystyle S}$:
   $${\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$
   dengan ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ menyatakan ketertutupan ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle X}$, dan ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ menyatakan interior topologis ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle X}$.
2. Batas himpunan merupakan irisan ketertutupan ${\displaystyle S}$ dengan ketertutupan komplemen:
   $${\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. Batas himpunan merupakan himpunan titik ${\displaystyle p\in X}$ sehingga setiap lingkungan ${\displaystyle p}$ memuat setidaknya satu titik ${\displaystyle S}$ dan setidaknya satu titik yang bukan ${\displaystyle S}$:
   $${\displaystyle \partial S:=\{p\in X:{\text{untuk semua tetangga }}O{\text{ dari }}p,O\cap S\neq \emptyset \,{\text{ dan }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}}$$

Contoh-contoh

Batas komponen hiperbolik himpunan Mandelbrot.

Tinjau garis real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ merupakan himpunan bagian rasional (yang interior topologi di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ kosong). Maka

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya. Kedua contoh tersebut dapat diperlihatkan bahwa untuk batas ${\displaystyle \partial S}$ dari subhimpunan ${\displaystyle S}$, memuat subhimpunan terbuka takkosong dari ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$. Dalam artian untuk interior ${\displaystyle \partial S}$ di ${\displaystyle X}$ adalah subhimpunan terbuka takkosong. Akan tetapi, batas himpunan tertutup juga selalu mempunyai interior kosong.

Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang ${\displaystyle \mathbb {R} }$), batas dari ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ adalah kosong, dimana ${\displaystyle a}$ bilangan irasional.

Batas himpunan merupakan gagasan topologis, dan batas himpunan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Sebagai contoh, diberikan topologi biasa pada ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, maka batas cakram tertutup ${\displaystyle \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$ merupakan lingkaran sekeliling cakram: ${\displaystyle \partial \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$. Jika cakramnya dipandang sebagai himpunan di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$dengan topologi biasa itu sendiri, yaitu ${\displaystyle \Omega =\{(x,y,0)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$, maka batas cakramnya adalah cakram itu sendiri: ${\displaystyle \partial \Omega =\Omega }$. Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), maka batas cakramnya kosong.

Sifat-sifat

Ketertutupan dari himpunan ${\displaystyle S}$ sama dengan gabungan dari himpunan dengan batas himpunan ${\displaystyle S}$:

$${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S}$$

dengan ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ menyatakan ketertutupan ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle X}$. Sebuah himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika memuat batas himpunan ${\displaystyle S}$, dan terbuka jika dan hanya jika melepas dari batas himpunan ${\displaystyle S}$. Batas himpunannya adalah tertutup,^[1] yang diikuti dari rumus ${\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$. Notasi ${\displaystyle \partial _{X}S}$ merupakan perpotongan dari dua subhimpunan tertutup ${\displaystyle X.}$

("Trikotomi") Diberikan suatu himpunan ${\displaystyle S\subseteq X,}$ maka setiap titik ${\displaystyle X}$, tepatnya, terletak di salah satu dari tiga himpunan, yaitu ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$ dan ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$

$${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$

Pengertian diagram Venn memperlihatkan kaitan antara titik himpunan bagian ${\displaystyle S}$ yang berbeda dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ${\displaystyle A}$ adalah himpunan titik limit dari ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle B}$ adalah himpunan titik batas dari ${\displaystyle S,}$ luas dinaungi warna hijau merupakan himpunan titik interior dari ${\displaystyle S}$, luas dinaungi warna kuning merupakan himpunan titik pencil dari ${\displaystyle S}$, luas dinaungi warna hitam adalah himpunan kosong. Setiap titik ${\displaystyle U}$ adalah titik interior maupun titik batas dan setiap titik ${\displaystyle U}$ adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Demikian juga, setiap titik batas ${\displaystyle S}$ adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Titik pencil selalu merupakan titik batas.

Ketiga himpunan (yaitu ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$ dan ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S)}$) adalah himpunan lepas berpasangan. Akibatnya, jika ketiga himpunan tersebut bukan himpunan kosong,^{[note 1]} maka ketiga himpunan tersebut membentuk partisi dari ${\displaystyle X.}$

Sebuah titik ${\displaystyle p\in X}$ merupakan titik batas himpunan jika dan hanya jika setiap tetangga ${\displaystyle p}$ memuat setidaknya satu titik di himpunan dan yang bukan di himpunan. Batas interior himpunan yang juga merupakan batas dari ketertutupan himpunan memuat di batas himpunan.

Batas dari sebuah batas

Untuk suatu himpunan ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle \partial S\supseteq \partial \partial S}$, dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas ${\displaystyle S}$ tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika ${\displaystyle S}$ baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup, ${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$ untuk suatu himpunan ${\displaystyle S}$. Demikian, operator batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.

Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)

Lihat pula

• Lihat diskusi batas di manifold topologis untuk lebih lanjut
• Batas manifold
• Titik pembatas – konsep matematis yang berkaitan dengan himpunan bagian ruang vektor
• Ketertutupan (topologi)
• Eksterior (topologi) – himpunan bagian buka terbesar yang dengan adanya "diluar" himpunan bagian
• Interior (topologi)
• Himpunan rapat tak di mana-mana
• Teorema kerapatan Lebesgue, untuk pencirian ukuran teoretik dan sifat-sifat batas.
• Permukaan (topologi) – manifold berdimensi dua

Catatan

1. Pernyataan ini memerlukan syarat bahwa himpunan tersebut adalah tak kosong, sebab berdasarkan definisi, himpunan dalam sebuah partisi diperlukan agar menjadi himpunan tak kosong.

Referensi

1. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (edisi ke-Third). Dover. hlm. 86. ISBN 0-486-66352-3. Corollary 4.15 For each subset ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)}$ is closed. 

Bacaan lebih lanjut

• Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Willard, S. (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3. 
• van den Dries, L. (1998). Tame Topology. ISBN 978-0521598385.