可测函数

可测函数（英語：measurable function）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。

正式定義

可測函數的定義 — 設 ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$ 與 ${\displaystyle (Y,\Sigma _{Y})}$ 為可测空间。那函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 對任意 ${\displaystyle B\in \Sigma _{Y}}$ 若滿足：

${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$

則稱 ${\displaystyle f}$ 為一個 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \Sigma _{Y}}$ 可測函數。

重要範例

實可測函數

取本節定義中的 ${\displaystyle Y}$ 為实数系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ，然後取：

${\displaystyle {\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

換句話說，${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }}$ 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 本身是個拓扑基），那麼這樣的${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }}$ 可測函數 ${\displaystyle f}$ ，通常會簡稱為 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - 實可測函數；甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。

博雷爾函数

主条目：博雷尔可测函数

如果${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ 與 ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ 正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代数：

${\displaystyle \sigma (\tau _{X})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{X}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{Y}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

換句話說，${\displaystyle \sigma (\tau _{X})}$ 是由 ${\displaystyle X}$ 上开集所生成的博雷爾代數；${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$ 是由 ${\displaystyle Y}$ 上开集所生成的博雷爾代數，那這樣 ${\displaystyle \sigma (\tau _{X})}$ - ${\displaystyle \sigma (\tau _{X})}$ 可测函数 ${\displaystyle f}$ 又称为 ${\displaystyle \tau _{X}}$ - ${\displaystyle \tau _{Y}}$ 博雷爾函数（Borel function）。

根據拓撲空間连续函數的定義， ${\displaystyle \tau _{X}}$ - ${\displaystyle \tau _{Y}}$ 博雷爾函数必定 ${\displaystyle \tau _{X}}$ - ${\displaystyle \tau _{Y}}$ 連續，但反之不成立，原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

定理(1) — 設 ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$ 為可测空间， ${\displaystyle Y}$ 為一集合，且有函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 。那

${\displaystyle \Sigma =\left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

為 ${\displaystyle Y}$ 的σ代數。

證明

以下將逐條檢驗 ${\displaystyle \Sigma }$ 是否符合σ代數的定義 (1) ${\displaystyle Y\in \Sigma }$ 因為： ${\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}}$ 所以 ${\displaystyle Y\in \Sigma }$。 (2) ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，則 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$ 若 ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，因為： ${\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 所以 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$ 。 (3)可數個并集仍在 ${\displaystyle \Sigma }$ 中 若 ${\displaystyle \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，那因為： ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}}$ 所以 ${\displaystyle \bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$ 。 綜上所述， ${\displaystyle \Sigma }$ 的確是${\displaystyle Y}$ 的σ代數。${\displaystyle \Box }$

定理(2) — ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$ 為可测空间 ，${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$ 是集合 ${\displaystyle Y}$ 的一個子集族 ，那對函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 來說，以下兩敘述等價：

1. 對所有 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$
2. ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 可測函數

證明

(1 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 2) 若對所有 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 都有： ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 換句話說： ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$ 那根據本節之定理(1)和最小σ代数 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 的定義有： ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$ 換句話說，只要 ${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 就有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，故 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 可測函數。${\displaystyle \Box }$ (2 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 1) 若對所有${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 都有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，換句話說： ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$ 這樣的話，的確可以從 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 推出 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 。${\displaystyle \Box }$

定理(3) — 設 ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$為可测空间，${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ 與 ${\displaystyle (Z,\tau _{Z})}$ 為拓扑空间，若： ^[1]

• ${\displaystyle f:X\to Y}$ 為 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$可測函數
• ${\displaystyle g:Y\to Z}$ 為 ${\displaystyle \tau _{Y}}$ - ${\displaystyle \tau _{Z}}$ 连续函數

則复合函数 ${\displaystyle g\circ f}$ 為 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Z})}$可測函數。

證明

根據定理(2)， ${\displaystyle g\circ f}$ 為 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Z})}$可測函數等價於： 「對所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle {(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$」 但因為${\displaystyle g}$ 為 ${\displaystyle \tau _{Y}}$ - ${\displaystyle \tau _{Z}}$ 连续函數，故： 「對所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle g^{-1}(C)\in \tau _{Y}\subseteq \sigma (\tau _{Y})}$」 但 ${\displaystyle f}$ 又為 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$可測函數，故可以得到 ${\displaystyle f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$ ，所以本定理得証。${\displaystyle \Box }$

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 卢辛定理

勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果${\displaystyle A}$是实数轴${\displaystyle \mathbb {R} }$的一个不可测子集，那么它的指示函数${\displaystyle 1_{A}(x)}$是不可测的。

参见

• 可测函数的向量空间：${\displaystyle L^{p}}$空间
• 保测动态系统

参考文献

1. Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.