正態分佈 下,和平均值偏離一個標準差以內的數據會佔68.27%,偏離二個標準差以內的數據會到95.45%,偏離三個標準差以內的數據會到99.73%。
x軸為標準分數 ,y軸是比標準分數接近平均值之內的比例。y軸是對數長度
在統計 上,68–95–99.7法則 (68–95–99.7 rule)是在正態分佈 中,距平均值小於一個標準差 、二個標準差、三個標準差以內的百分比,更精確的數字是68.27%、95.45%及99.73%。若用數學用語表示,其算式如下,其中X 為常態分布隨機變數 的觀測值,μ 為分佈的平均值,而σ 為標準差:
Pr
(
μ μ -->
− − -->
1
σ σ -->
≤ ≤ -->
X
≤ ≤ -->
μ μ -->
+
1
σ σ -->
)
≈ ≈ -->
0.682689492137086
Pr
(
μ μ -->
− − -->
2
σ σ -->
≤ ≤ -->
X
≤ ≤ -->
μ μ -->
+
2
σ σ -->
)
≈ ≈ -->
0.954499736103642
Pr
(
μ μ -->
− − -->
3
σ σ -->
≤ ≤ -->
X
≤ ≤ -->
μ μ -->
+
3
σ σ -->
)
≈ ≈ -->
0.997300203936740
{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 0.682689492137086\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 0.954499736103642\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 0.997300203936740\end{aligned}}}
在實驗科學中有對應正態分佈的三西格馬法則 (three-sigma rule of thumb),是一個簡單的推論,內容是「幾乎所有」的值都在平均值正負三個標準差的範圍內,也就是在實驗上可以將99.7%的機率視為「幾乎一定」[1] 。不過上述推論是否有效,會視探討領域中「顯著」的定義而定,在不同領域,「顯著」(significant)的定義也隨著不同,例如在社會科學中,若置信区间 是在正負二 個標準差(95%)的範圍,即可視為顯著。但是在粒子物理 中,若是發現 新的粒子,置信区间 要到正負五個標準差(99.99994%)的程度。
在不是正態分佈的情形下,也有另一個對應的三西格馬法則 (three-sigma rule),即使是在非正態分佈的情形下,至少會有88.8%的機率會在正負三個標準差的範圍內,這是依照切比雪夫不等式 的結果。若是單模分佈(unimodal distributions)下,正負三個標準差內的機率至少有95%,若一些符合特定條件的分佈,機率至少會到98%[2]
。
數值表
由于正态分布含有指数项的特性,超出某个标准差范围的概率会随着该范围的扩大而大幅减小。假如某实验每天进行一次,则实验结果超出某标准差范围的频率可列为下表:
範圍
預期的样本比例在範圍內
近似預期頻率超出範圍
近似頻率(假设每天实验一次)
μ ± 0.5σ
0.382924 922 548 026
3次中发生2次
每星期四至五次
μ ± σ
0.682689 492 137 086 [3]
3次中发生1次
每星期兩次
μ ± 1.5σ
0.866385 597 462 284
7次中发生1次
每星期
μ ± 2σ
0.954499 736 103 642 [4]
22次中发生1次
每三個星期
μ ± 2.5σ
0.987580 669 348 448
81次中发生1次
每三个月
μ ± 3σ
0.997300 203 936 740 [5]
370次中发生1次
每年
μ ± 3.5σ
0.999534 741 841 929
2 149次中发生1次
每六年
μ ± 4σ
0.999936 657 516 334
15 787次中发生1次
每43 年(约一生两次)
μ ± 4.5σ
0.999993 204 653 751
7005147160000000000♠ 147160 次中发生1次
每403 年(近代以来仅1次)
μ ± 5σ
0.999999 426 696 856
7006174427800000000♠ 1744 278 次中发生1次
每7003477600000000000♠ 4776 年(人类记录历史 以来仅1次)
μ ± 5.5σ
0.999999 962 020 875
7007263302540000000♠ 26330 254 次中发生1次
每7004720900000000000♠ 72090 年(智人 出现以来仅4次)
μ ± 6σ
0.999999 998 026 825
7008506797346000000♠ 506797 346 次中发生1次
每138萬年(直立人 出现以来仅1-2次)
μ ± 6.5σ
0.999999 999 919 680
7010124501973930000♠ 12450 197 393 次中发生1次
每3400萬年(恐龙灭绝 以来仅2次)
μ ± 7σ
0.999999 999 997 440
7011390682215445000♠ 390682 215 445 次中发生1次
每10.7億年(地球诞生以来仅4次)
μ ± x σ
erf
-->
(
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}
1
1
− − -->
erf
-->
(
x
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}
次中发生1次
每
1
1
− − -->
erf
-->
(
x
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}
天
参考文献
参见