适应过程

适应过程是随机过程研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。

定义

设有

• 概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$；
• 测度空间${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$，状态空间；
• 有序的指标集${\displaystyle T}$： 可以是非负实数集${\displaystyle [0,\infty )}$、有限时间集${\displaystyle [0,T_{0}]}$或离散时间${\displaystyle \mathbb {N} }$；
• σ-代数${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$；
• 随机过程${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$。

则随机过程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是适应过程（适应于${\displaystyle \mathbb {F} }$的随机过程）当且仅当对任意的时刻${\displaystyle t\in T}$，映射：${\displaystyle X_{t}:\Omega \to S}$都是${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t},{\mathcal {A}})}$-可测的随机变量^[1]:37[2]:97。

适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻${\displaystyle t=n}$的结果能够在${\displaystyle t=n-1}$的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族${\displaystyle \mathbb {F} }$中可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。

例子

设状态空间${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$为实数及其波莱尔σ-代数${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$。设指标集为连续的：${\displaystyle T=[0,\infty ).}$ 给定一个随机过程${\displaystyle X=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$，如果考虑过程${\displaystyle X}$产生的自然参考族：${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}=\{{\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}|t\in T\}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}=\sigma \left(X_{s}\,;\,\,0\leqslant s\leqslant t\right)=\sigma \left(\left\{X_{s}^{(-1)}(H)\,|\,0\leqslant s\leqslant t,\,\,H\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}\right)}$

那么${\displaystyle X}$当然是适应于${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}}$的过程，因为在每个时刻，${\displaystyle X}$都是${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}}$-可测的随机变量。自然参考族也是能使得${\displaystyle X}$为适应变量的“最小”参考族。${\displaystyle X}$适应于某个参考族${\displaystyle {\mathcal {F}}^{r}=\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$，当且仅当在任何时刻${\displaystyle t\in T}$，${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}.}$^[3]:98

设${\displaystyle X=\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$是某彩票每期的开奖结果，那么${\displaystyle X}$是一个适应随机过程，但不可能是一个可预测过程。

参考来源

1. （英文）Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188. 
2. （英文）Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8. 
3. （英文）Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801.