解析信号

提示：此条目的主题不是解析表达式或解析函数。

在数学和信号处理中，解析信号（英語：analytic signal）是没有负频率分量的复值函数。^[1] 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。

实值函数的解析表示是解析信号，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是“解析函数”），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广：^[2] 向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。

定义

创建一个解析信号的传递函数

若 ${\displaystyle s(t)}$ 是一个实值函数，其傅里叶变换为 ${\displaystyle S(f)}$，${\displaystyle S(f)}$為一於 ${\displaystyle f=0}$ 埃尔米特对称之函數：

${\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}$   其中，${\displaystyle S(f)^{*}}$为 ${\displaystyle S(f)}$ 的复共轭。

函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}$

其中：

• ${\displaystyle \operatorname {u} (f)}$ 是单位阶跃函数，
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}$ 是符号函数，

仅包含 ${\displaystyle S(f)}$ 的非负频率分量。而且由于 ${\displaystyle S(f)}$ 的埃尔米特对称性，该运算是可逆的：

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}$

${\displaystyle s(t)}$ 的解析信号是 ${\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}$ 的傅里叶逆变换：

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}$

其中

• ${\displaystyle {\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}$ 是 ${\displaystyle s(t)}$ 的希爾伯特轉換；
• ${\displaystyle *}$ 是卷积符号；
• ${\displaystyle j}$ 是虛數單位。

例子

例1

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$   其中  ${\displaystyle \omega >0.}$

于是：

${\displaystyle {\hat {s}}(t)=\cos(\omega t-\pi /2)=\sin(\omega t),}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.}$  第三个等式为欧拉公式。

欧拉公式的一个推论是 ${\displaystyle \cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}).}$ 一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃负频率分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。

例2

这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\tfrac {1}{2}}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )})}$

于是：

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

例3

这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 ${\displaystyle s(t)}$，没有什么能阻止我们计算 ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设 ${\displaystyle s(t)}$ 为实值函数。

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$, 其中 ${\displaystyle \omega >0}$.

于是：

${\displaystyle {\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.}$

负频率分量

由于 ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$，恢复负频率分量就是简简单单丢弃 ${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$ 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$ 仅由负频率分量构成。因此 ${\displaystyle \operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$ 恢复了被减弱的正频率分量。

应用

包络和瞬时相位

一个函数（蓝色）和它的解析表示的模（红），显示出包络现象。

解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（极坐标）：

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

其中：

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}|s_{\mathrm {a} }(t)|}$ 称作瞬时振幅或包络（英语：envelope (waves)）；
• ${\displaystyle \phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$ 称作瞬时相位。

在附图中，蓝色曲线描绘 ${\displaystyle s(t)}$，红色曲线描绘对应的 ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$。

解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作瞬时角频率：

${\displaystyle \omega (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

因此，瞬時頻率（单位赫兹）为：

${\displaystyle f(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$  ^[3]

瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅調變和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。

复包络/基带

解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0 Hz，可能会产生[非对称]负频率分量：

${\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$

其中 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 是任意参考角频率。^[2]

这个函数有不同的名称，如复包络和复基带。复包络不是唯一的；它是由 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 的选取决定的。这个概念通常用于处理带通信号（英语：passband）。如果 ${\displaystyle s(t)}$ 是调制信号，${\displaystyle \omega _{0}}$ 可能会等于它的载波频率（英语：carrier frequency）。

在其他情况下，${\displaystyle \omega _{0}}$ 选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率，从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说，下转换的信号仍然是解析信号。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混疊可能需要上转换，若信号已被（离散时间）采样，还可能需要插值（升採樣）。

若选取的 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 大于 ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$ 的最高频率，则 ${\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t)}$ 没有正频率。在这种情况下，提取实部并恢复它们，但顺序要相反；低频分量现在变为高频分量，反之亦然。这可用于解调一种叫做下边带的单边带信号。

参考频率的其他选择：

有时 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 的选取是要最小化

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$

另外，^[4] ${\displaystyle \omega _{0}}$ 选取还可以是要最小化线性逼近解缠的瞬时相位 ${\displaystyle \phi (t)}$ 的均方误差：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$

再或者（对最佳 ${\displaystyle \theta }$）：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$

在信号处理领域，维格纳–威利分布定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。^[5]

有时复包络与复振幅同义；^[a][b] 其他时候它作为一种时间无关的推广形式。^[c] 它们的关系并不像实值的情形那样；变化的包络（英语：Envelope (waves)）产生恒定的振幅。

参见

• 希爾伯特轉換
• 负频率

应用

• 单边带调制
• 正交滤波器（英语：Quadrature filter）
• 因果滤波器（英语：Causal filter）

注释

1. "the complex envelope (or complex amplitude)"^[6]
2. "the complex envelope (or complex amplitude)", p.586 ^[7]
3. "Complex envelope is an extended interpretation of complex amplitude as a function of time." p.85^[8]

参考文献

1. ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）[7/16/2014 1:07:57 PM]
2. Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
3. B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
4. Justice, J. Analytic signal processing in music computation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684 [2016-08-05]. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1979.1163321. （原始内容存档于2014-10-20）. 
5. B. Boashash, “Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis”, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
6. Hlawatsch, Franz; Auger, François. Time-Frequency Analysis. John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831 （英语）. 
7. Driggers, Ronald G. Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024. CRC Press. 2003-01-01 [2016-08-05]. ISBN 9780824742508. （原始内容存档于2014-10-21） （英语）. 
8. Okamoto, Kenʼichi. Global Environment Remote Sensing. IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015 （英语）. 

延伸阅读

• Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
• Frederick W. King, Hilbert Transforms, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
• B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003.

外部链接

• Analytic Signals and Hilbert Transform Filters （页面存档备份，存于互联网档案馆）