三階無限邊形鑲嵌 龐加萊圓盤模型
類別 雙曲正鑲嵌 對偶多面體 無限階三角形鑲嵌 鮑爾斯縮寫 azat 考克斯特符號 施萊夫利符號 {∞,3} 威佐夫符號 3 | ∞ 2 頂點圖 ∞.∞.∞ 對稱群 [∞,3], (*∞32) 點可遞 、 邊可遞 、 面可遞
在幾何學 中，三階無限邊形鑲嵌 是一種雙曲面的正鑲嵌，由無限邊形 組成，在施萊夫利符號 中用{∞, 3}表示，即每個頂點 周為皆有三個無限邊形 ，頂點圖 可計為∞.∞.∞或∞3 。每個無限邊形都內接在極限圓上。
三階無限邊形鑲嵌無法在平面上構造，因為二個無限邊形就已經完全密鋪平面了，即所謂的二階無限邊形鑲嵌 ，另一個原因是正無限邊形 的內角為180度 ，三個正無限邊形內角 為540度，因此無法構造於平面上，但可以在一個雙曲拋物面 上構造[ 1]
每個正無限邊形 面都內接在一個半徑為無限大的羅氏圓，即極限圓 ，它看起來像是一個內切於龐加萊圓盤模型投影邊界的圓。
就如同三階六邊形鑲嵌 ，每一個三階無限邊形鑲嵌都有三種半正表面塗色，皆屬於不同的反射三角群域：
正圖形
截角
大斜方截半
0,1 {∞,∞}1,2 {∞,∞}0,1,2 {(∞,∞,∞)}
雙曲三角群
即使無限邊形的邊數已經是最多的了，但仍可以利用偽多邊形群 構造更多邊數的圖形，即邊數使用虛數 表示其所包含的邊 數量比無限大 還要多。他們的對偶為超無限階三角形鑲嵌，其階數也是以iπ/λ表示，代表其階數比無限大 還要多，同樣屬於非緊湊 的雙曲鑲嵌，並且有無窮多種組合（整個虛數集 ）。
雖然是變為「超無限邊形」，但其實際上是變為角度大於180度角，表示其圖形的中心超過無窮遠處，即圖形不封閉了，也表示三階超無限邊形鑲嵌中的超無限邊形並不存在實質的中心點(對偶的超無限階頂點並不存在)，如同二階超無限邊形鑲嵌 中，超無限邊形的中心因退化而不存在的情形，此超無限邊形也是類似的情形。但由於鑲嵌中的多階頂點的角度必須是小於180度角，因此嚴格來說，那些超無限邊形的中心點並不存在。
這些邊數為複 的超無限邊形鑲嵌由於其形成了不閉合且不是有界的的空間 ，因此不屬於緊空間。
複 邊數的超無限邊形鑲嵌也構成了一個無窮系列，從i、2i 一直到虛 無窮。也因此三階超無限邊形鑲嵌也可使視為兩個系列的極限。
三階無限邊形和超無限邊形鑲嵌
類別
仿緊湊雙曲鑲嵌
非緊湊 雙曲鑲嵌
邊數
無限
∞i
...
12i
11i
圖像
...
頂點佈局
∞3
∞i3
...
12i3
11i3
類別
非緊湊雙曲鑲嵌
邊數
10i
9i
8i
7i
6i
圖像
頂點佈局
10i3
9i3
8i3
7i3
6i3
類別
非緊湊雙曲鑲嵌
邊數
5i
4i
3i
2i
i
圖像
頂點佈局
5i3
4i3
3i3
2i3
i3
^ Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer, Introduction to Hyperbolic Geometry , Springer; 1 edition (December 16, 1995)
