Định lý Morley thu hút được sự quan tâm của nghiều người nghiên cứu hình học tam giác không chỉ bởi vẻ đẹp kì lạ của nó mà còn vì tam giác Morley không thể dựng được chỉ bằng thước thẳng và compa.
Chứng minh
Có rất nhiều chứng minh cho định lý Morley với các kỹ thuật khác nhau.[1] Các chứng minh trước đây dựa trên các biến đổi lượng giác. Chứng minh hình học đầu tiên được đưa ra bởi M. T. Naraniengar năm 1909.[2] Gần đây hơn Alain Connes đưa ra một chứng minh bằng đại số và mở rộng nó với lý thuyết trường, còn John Conway đưa ra một chứng minh bằng hình học sơ cấp.[3][4]. Định lý Morley không còn đúng trong hình học trên mặt cầu và hình học trên mặt hy-péc-bôn[5].
Fig 1. Elementary proof of Morley's trisector theorem
Điểm D,E,F được dựng trên cạnh BC như hình vẽ. Ta thấy α+β+γ = 60° do đó ∠CYA = 120°+β và góc của tam giác ΔXEF là α, 60°+β, 60°+γ. Ta lại có sin(60°+β) = DX/XE và AC/sin(120°+β) = AY/sin γ theo định lý sin do đó được cao h của tam giác ΔABC đưa ra bởi
h = AB sin 3β = 4AB.AC.DX sin β sin γ / (XE.AY)
= AC sin 3γ = 4AC.AB.DX sin γ sin β / (XF.AZ).
Do đó XE.AY = XF.AZ tương đương với XE/XF = AZ/AY. Mặt khác ∠EXF = ∠ZAY do đó hai tam giácXEF và AZY là đồng dạng. Do đó các góc đáy của ΔAZY là 60°+β và 60°+γ. Xác định một cách tương tự đối với các góc đáy của hai tam giác ΔBXZ và ΔCYX từ đó dễ dàng xác định được ba góc của tam giácXYZ là 60°.
Độ dài các cạnh và diện tích tam giác Morley
Độ dài của cạnh của tam giác Morley thứ nhất như sau:[6]
^Conway, John (2006), “The Power of Mathematics”, trong Blackwell, Alan; Mackay, David (biên tập), Power(PDF), Cambridge University Press, tr. 36–50, ISBN978-0-521-82377-7, Bản gốc(PDF) lưu trữ ngày 23 tháng 9 năm 2015, truy cập ngày 22 tháng 6 năm 2015Đã định rõ hơn một tham số trong |accessdate= và |access-date= (trợ giúp)
Taylor, F. Glanville; Marr, W. L. (1913–14), “The six trisectors of each of the angles of a triangle”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 33: 119–131.