Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề của toán học.[2]
Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại.
Toán học thời sơ khai
Nguồn gốc
Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN.[3] Cũng các di khảotiền sử được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN,[4] cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian.[5]
Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. Hơn nữa, các thợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như không khi xem xét số bầy thú.[6][7]
Nền toán học sớm nhất từng biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN - 2600 TCN ở nền văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn Độ và Pakistan, đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, các đường đi được đặt trên một góc vuông hoàn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ và các bức vẽ các hình tròn và hình tam giác cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một chiếc com pa để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng hệ đếmcơ số 8 và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa chu vi của đường tròn đối với bán kính của nó, do đó tính được số π.[9]
Toán học của người Maya
Chữ số của người Maya, có số 0
Cùng phát triển với các nền văn minh Trung Mỹ khác, người Maya sử dụng hệ đếm nhị thập phân (vigesimal) và hệ ngũ phân (xem chữ số Maya). Hệ ngũ phân trên cơ sở so sánh với số ngón tay của một bàn tay, còn nhị thập phân là toàn bộ số ngón tay và ngón chân. Trong tiếng Quiche, từ chỉ số 20 là huvinak, có nghĩa là "toàn thân". Ngoài ra, người Maya đã phát triển khái niệm "số 0" vào năm 357, sớm hơn châu Âu khoảng gần 900 năm. Văn bản cổ cho thấy, những người Maya, có nhu cầu công việc cộng vào hàng trăm triệu và số ngày lớn đòi hỏi phải có phương cách chính xác để thực hiện chúng. Kết quả tính toán về thiên văn học theo một không gian và thời gian dài là cực kỳ chính xác; bản đồ về sự vận động của Mặt Trăng và các hành tinh là ngang bằng hoặc vượt xa các văn minh khác quan sát vũ trụ bằng mắt thường.
Người Maya xác định chính xác độ dài của một năm gồm 365 ngày, thời gian Trái Đất quay hết một vòng quanh Mặt Trời, chính xác hơn rất nhiều lịch được châu Âu sử dụng vào thời đó (lịch Gregory). Có giả thiết cho rằng người Maya đã kế thừa cách tính lịch từ các nền văn minh cổ Zapotecs (ở Mont Alban) và Olmecs (ở La venta và Tres Zapotes). Tuy thế, người Maya lại không sử dụng độ dài tính toán thời gian một năm vào lịch của họ. Người Maya sử dụng lịch (gọi là lịch Maya) trên cơ sở năm Mặt Trời với 365 ngày. Một năm Mặt Trời được chia thành 18 tháng, mỗi tháng có 20 ngày (dùng hệ đếm cơ số 20), năm ngày còn lại được đưa vào cuối năm. Các ngày trong tháng được ghi bằng số thứ tự từ 0 đến 19 trước tên tháng (0 đến 4 cho tháng thiếu, cuối năm có 5 ngày). Theo lịch này, các năm nối tiếp nhau không ngừng, không có năm nhuận. Như vậy kết quả là lịch sẽ bị sai lệch lùi về một ngày trong vòng 4 năm. Khi so sánh với lịch Julius, dùng ở châu Âu từ thời Đế quốc La Mã cho đến tận thế kỷ 16, thì độ sai số cho một ngày là mỗi 128 năm; với lịch Gregory hiện đại, thì sai số sấp xỉ một ngày mỗi 3.257 năm.
Lịch của thầy bói
Ngày xưa, những người da đỏQuiche, Ixil và Mam vẫn dùng lịch Maya truyền thống với một năm có 260 ngày để dự đoán tương lai. Để giải thích vì sao bộ lịch lại gồm 260 ngày, người ta đã phỏng vấn nhiều thầy bói ở Chichicastenango và Momstenango và phát hiện ra rằng: Việc chọn độ dài của năm này không phải do ngẫu nhiên mà là do phù hợp với thời gian mang thai của con người. Hệ đếm 20 cho phép chia một năm 260 ngày thành 13 tháng, mỗi tháng 20 ngày, kết hợp với một trong 20 tên gọi các con vật, các lực lượng tự nhiên, các quan niệm hay khái niệm mà ý nghĩa không còn lưu truyền đến ngày nay.
Bảng tính vạch trên đất sét YBC 7289 với chú giải chữ số hiện đại
Toán học Babylon là ám chỉ bất kì nền toán học nào thuộc về cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer cho đến đầu thời kì Hy Lạp hóa. Nó được đặt tên là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi đã không còn tồn tại sau thời kì Hy Lạp hóa. Các nhà toán học Babylon đã trộn với các nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp. Sau đó dưới Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo.
Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu biết về toán học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những năm 1850. Viết bằng ký tự Cuneiform, các miếng đất sét này được viết trong khi đất sét còn ẩm, và được nung cứng trong lò hoặc bằng nhiệt từ Mặt Trời. Một số trong đó có vẻ là bài tập về nhà.
Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thời những người Sumer cổ đại, những người đã xây nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà. Họ đã phát triển một hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN. Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer đã viết những bảng nhân trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán chia. Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này.[10]
Toán học Babylon được viết bằng hệ cơ số 60. Do việc này mà ngày nay ta sử dụng 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6) độ trong một vòng tròn. Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ dàng bởi số 60 có rất nhiều ước số. Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như hệ thập phân. Thế nhưng họ lại thiếu một ký hiệu tương đương của dấu thập phân, và do đó hàng trong cách viết số thường được suy ra từ ngữ cảnh.
Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay thế tiếng Ai Cập trong ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập, và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp. Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục dưới Đế chế Arab như là một phần của toán học Hồi giáo Trung Cổ, khi tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập.
Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay là giấy cói Moskva, một văn tự bằng giấy cói của Vương quốc giữa Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi là "bài toán chữ", rõ ràng là chỉ để giải trí. Một bài toán được coi là quan trọng ở mức nói riêng bởi nó đưa ra phương pháp tìm thể tích của một hình cụt: "Nếu bạn biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ 2. Bạn sẽ bình phương số 4 này, được 16. Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8. Bạn sẽ bình phương 2, được 4. Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28. Bạn sẽ lấy một phần ba của 6, được 2. Bạn nhân 28 với 2 được 56. Và 56 là số bạn cần tìm."
Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất của hình học giải tích: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một cố gắng cổ đại trong việc cầu phương hình tròn; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về lượng giác.
Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp khoảng giữa 600 TCN và 450.[12] Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn hóa và ngôn ngữ. Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa).
Toán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với các nền văn hóa trước đó. Tất cả các ghi chép còn tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy việc sử dụng suy luận quy nạp, nghĩa là, các quan sát liên tục được sử dụng để lập nên các phép đo dựa trên kinh nghiệm. Người Hy Lạp sử dụng lý luận logic để đạt được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề[13].
Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) và Pythagoras (khoảng 582 - khoảng 507 TCN). Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn, họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, và có thể cả Ấn Độ. Theo truyền thuyết, Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, và thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập.
Thales đã sử dụng hình học để giải các bài toán như là tính chiều cao của các hình chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển. Pythagoras được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý Pythagore, mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch sử dài. Trong lời bình luận về Euclid, Proclus phát biểu rằng Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên bộ ba Pythagore một cách đại số hơn là hình học. Trường học của Plato có câu khẩu hiệu: "Không để những thứ nông cạn trong hình học vào đây."
Học thuyết Pythagoras đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ. Eudoxus (408 - khoảng 355 TCN) đã phát minh ra phương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm hiện đại tích phân. Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết ra các luật về logic. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh. Ông cũng nghiên cứu về các đường conic. Cuốn sách của ông, Cơ bản, được tất cả những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20.[14] Thêm vào các định lý quen thuộc của hình học, như định lý Pythagore, Cơ bản còn có cả chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn số nguyên tố. Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố. Với người Hy Lạp, toán học đã vượt lên cả việc ghi chép. Những nhà toán học có tên tuổi tới nay đã để lại những định lý, tiên đề có giá trị khái quát cao trong cuộc sống và đặc biệt đối với lĩnh vực toán học
Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà toán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, là Archimedes xứ Syracuse (287—212 TCN) xứ Syracuse[cần dẫn nguồn]. Theo như Lucius Mestrius Plutarchus, ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các công thức toán học ở trên cát, ông đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết. Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào toán học lý thuyết.
Pāṇini (khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức cho ngữ pháp của tiếng Phạn. Ký hiệu của ông tương tự với ký hiệu toán học, và sử dụng các ngôn luật, các phép biến đổi, đệ quy với độ phức tạp đến mức ngữ pháp của ông có sức mạnh tính toán ngang với máy Turing. Công trình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đại ngữ pháp hình thức (formal grammar) (có vai trò quan trọng trong điện toán), trong khi dạng Panini-Backus được sử dụng bởi những ngôn ngữ lập trình hiện đại nhất lại rất giống với luật ngữ pháp của Panini. Pingala (khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất TCN) trong bản luận thuyết của mình về thi pháp đã sử dụng một phương pháp ứng với hệ nhị phân. Thảo luận của ông về tổ hợp của các phách, tương ứng với định lý nhị thức. Công trình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản của các số Fibonacci (được gọi là mātrāmeru). Văn bản Brāhmī được phát triển ít nhất từ thời triều Maurya vào thế kỉ 4 TCN, với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy nó xuất hiện vào khoảng 600 TCN. Chữ số Brahmi ở vào khoảng thế kỉ 3 TCN.
Bắt đầu từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), toán học Trung Quốc sớm nhất còn tồn tại bao gồm các số được khắc trên mai rùa.[16][17] Các số này sử dụng hệ cơ số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới) bằng một ký hiệu cho số 1 rồi đến một ký hiệu hàng trăm, sau đó là ký hiệu cho số 2 rồi đến ký hiệu hàng chục, sau đó là số 3. Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới vào thời điểm đó và cho phép tính toán được thực hiện bởi bàn tính. Thời điểm phát minh ra bàn tính không rõ, nhưng tài liệu cổ nhất vào 190 trong Lưu ý về the Art of Figures viết bởi Xu Yue. Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này.
Ở Trung Quốc, vào 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách trong nước. Cho dù lệnh này không được tuân thủ hoàn toàn, nhưng ta vẫn biết rất ít về toán học Trung Hoa cổ đại.
Từ triều Tây Chu (từ 1046), công trình toán học cổ nhất còn tồn tại sau cuộc đốt sách là Kinh Dịch, trong đó sử dụng 64 quẻ 6 hào cho mục đích triết học hay tâm linh. Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm.
Sau cuộc đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 đã lập các công trình về toán học có thể là phát triển dựa trên các công trình mà hiện nay đã mất. Phần quan trọng nhất trong số đó là Cửu chương toán thuật, tiêu đề của nó xuất hiện trước 179 CN, nhưng là nằm trong các tiêu đề khác tồn tại trước đó. Nó bao gồm 264 bài toán chữ, chủ yếu là nông nghiệp, thương nghiệp, áp dụng của hình học để đo chiều cao và tỉ lệ trong các chùa chiền, công trình, thăm dò, và bao gồm các kiến thức về tam giác vuông và số π. Nó cũng áp dụng nguyên lý Cavalieri (Cavalieri's principle) về thể tích hơn một nghìn năm trước khi Cavalieri đề xuất ở phương Tây. Nó đặt ra chứng minh toán học cho Định lý Pythagore, và công thức toán học cho phép khử Gauss. Công trình này đã được chú thích bởi Lưu Huy (Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên.
Ngoài ra, các công trình toán học của nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương Hành (Zhang Heng, 78-139) đã có công thức cho số pi, khác so với tính toán của Lưu Huy. Trương Hành sử dụng công thức của ông cho số pi để tính thể tíchhình cầu V theo đường kính D.
V=D3 + D3 = D3
Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là 'hình vuông thần kì', được mô tả trong các thời kì cổ đại và được hoàn chỉnh bởi Dương Huy (1238-1398).
Tổ Xung Chi (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời Nam Bắc Triều đã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của số π trong gần 1000 năm.
Tam giác Pascal
Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từ nhà Đường và kết thúc vào nhà Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán phát sinh và giải quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu. Các phát triển trước hết được nảy sinh ở Trung Quốc, và chỉ rất lâu sau mới được biết đến ở phương Tây, bao gồm số âm, định lý nhị thức, phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính và [[Định lý số dư Trung Quốc]] về nghiệm của hệ phương trình đồng dư bậc nhất.
Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN[18]
Định lý nhị thức và tam giác Pascal được Yang Hui nghiên cứu từ thế kỷ 13
Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thành lập bảng ma trận từ những năm 650 TCN[19]
Người Trung Quốc cũng đã phát triển tam giác Pascal và luật ba rất lâu trước khi nó được biết đến ở châu Âu. Ngoài Tổ Xung Chi ra, một số nhà toán học nổi tiếng ở Trung Quốc thời kì này là Nhất Hành, Shen Kuo, Chin Chiu-Shao, Zhu Shijie, và những người khác. Nhà khoa học Shen Kuo sử dụng các bài toán liên quan đến giải tích, lượng giác, khí tượng học, hoán vị, và nhờ đó tính toán được lượng không gian địa hình có thể sử dụng với các dạng trận đánh cụ thể, cũng như doanh trại giữ được lâu nhất có thể với lượng phu có thể mang lương cho chính họ và binh sĩ.
Thậm chí sau khi toán học châu Âu bắt đầu nở rộ trong thời kì Phục hưng, toán học châu Âu và Trung Quốc khác nhau về truyền thống, với sự sụt giảm của toán học Trung Quốc, cho tới khi các nhà truyền đạo Thiên Chúa giáo mang các ý tưởng toán học tới và đi giữa hai nền văn hóa từ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18.
Cuốn Surya Siddhanta (khoảng 400) giới thiệu các hàm lượng giác như sin, cosin, và sin ngược, và đưa ra các luật để xác định chuyển động chính xác của các thiên thể, tuân theo vị trí thật của chúng trên bầu trời. Thời gian vũ trụ tuần hoàn được giải thích trong cuốn sách, được sao chép từ một công trình trước đó, tương ứng với năm thiên văn với 365,2563627 ngày, chỉ dài hơn 1,4 giây so với giá trị hiện đại. Công trình này đã được dịch ra tiếng Ả Rập và Latin trong thời Trung Cổ.
Aryabhata vào năm 499 giới thiệu hàm versin, đưa ra bản sin đầu tiên, phát triển các kĩ thuật và thuật toán của đại số, vô cùng nhỏ, phương trình vi phân, và đạt được lời giải hoàn chỉnh cho các phương trình tuyến tính bằng một phương pháp ứng với phương pháp hiện đại, cùng với các tính toán thiên văn chính xác dựa trên thuyết nhật tâm. Một bản dịch tiếng Ả Rập của cuốn Aryabhatiya có từ thế kỉ 8, sau đó là bản Latin vào thế kỉ 13. Ông cũng tính giá trị π chính xác tới bốn chữ số sau dấu phẩy. Madhava sau đó vào thế kỉ 14 đã tính giá tị của số π chính xác tới chữ số thập phân thứ mười một là 3.14159265359.
Đế chế Ả RậpĐạo Hồi được thiết lập trên toàn bộ Trung Đông, Trung Á, Bắc Phi, Iberia, và một số phần của Ấn Độ trong thế kỉ 8 đã tạo nên những cống hiến quan trọng cho toán học. Mặc dù phần lớn các văn bản Đạo Hồi được viết bằng tiếng Ả Rập, chúng không hoàn toàn được viết bởi những người Ả Rập, rất có thể do vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hellenistic, tiếng Ả Rập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của các học giả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồi thời bấy giờ. Một số trong những nhà toán học Đạo Hồi quan trọng nhất là người Ba Tư.
Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, một nhà toán học và thiên văn học Ba Tư thế kỉ thứ 9, đã viết một vài cuốn sách quan trọng về hệ ghi số Hindu-Arabic và về các phương pháp giải phương trình. Cuốn sách của ông Về tính toán với hệ ghi số Hindu, được viết khoảng năm 825, cùng với công trình của nhà toán học Ả Rập Al-Kindi, là những công cụ trong việc truyền bá toán học Ấn Độ và hệ ghi số Hindu-Arabic tới phương Tây. Từ algorithm (thuật toán) bắt nguồn từ sự Latin hóa của tên ông, Algoritmi, và từ algebra (đại số) từ tên của một trong những công trình của ông, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối). Al-Khwarizmi thường được gọi là "cha đẻ của đại số", bởi sự bảo tồn các phương pháp đại số cổ đại của ông và các cống hiến của ông đối với lĩnh vực này.[20] Các phát triển thêm của đại số được thực hiện bởi Abu Bakr al-Karaji (953—1029) trong học thuyết của ông al-Fakhri, ở đó ông mở rộng các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết. Vào thế kỉ 10, Abul Wafa đã dịch công trình của Diophantus thành tiếng Ả Rập và phát triển hàm tang.
Ibn al-Haytham là người đầu tiên bắt nguồn sử dụng các công thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân.[23]
Đến thời Đế chế Ottoman (từ thế kỉ 15), sự phát triển của toán học Hồi giáo bị chững lại. Điều này song song với sự chững lại của toán học khi người Roma chinh phục được thế giới Hellenistic.
"Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bức tranh mới về những thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi. Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởng nghĩ ra trước đó đã trở thành những khái niệm tuyệt vời do toán học châu Âu của thế kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết là đã được phát triển bởi các nhà toán học Ả Rập/Đạo Hồi bốn thế kỉ trước đó. Trong nhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứu ngày nay còn gần hơn về phong cách đối với những thứ đó của toán học Đạo Hồi hơn là những thức của toán học Hellenistic."
Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400)
Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại. Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong cuộc đối thoại Timaeus của Plato và chuyến đi lớn mà Chúa đã "sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và cân nặng" (Wisdom 11:21).
Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)
Boethius và các học trò
Boethius (480–524) đã dành một nơi cho toán học trong môn học khi ông đưa ra khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình học, thiên văn học, và âm nhạc. Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề của cuốn Introduction to Arithmetic của Nicomachus; De institutione musica, cũng phát triển từ gốc Hy Lạp; và một loạt các đoạn lấy từ cuốn Cơ sở của Euclid. Công trình của ông mang tính lý thuyết hơn là thực hành, và là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán học của Hy Lạp và A Rập được phục hồi.[24][25]
Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của toán học. Fibonacci, vào đầu thế kỉ 13, đưa ra công trình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thời của Eratosthenes, một khoảng thời gian hơn một nghìn năm. Thế kỉ mười bốn đã chứng kiến sự phát triển của các khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bài toán.[28] Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho sự phát triển của toán học đó là phân tích các chuyển động địa phương.
Thomas Bradwardine đưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học khi tỉ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ. Bradwardine diễn tả điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù lôgarít thời đó chưa xuất hiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R).[29] Phân tích của Bradwardine là một ví dụ của việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởi al-Kindi và Arnald of Villanova để định tính bản chất của thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác.[30]
Là một người trong nhóm Oxford Calculators vào thế kỉ 14, William Heytesbury, thiếu giải tích vi phân và khái niệm giới hạn, đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời "bằng con đường mà có thể được mô tả bởi một vật thểnếu... nó được dịch chuyển đi theo cùng một tốc độ mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đã cho".[31]
Heytesbury và những người khác đã xác định bằng toán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyển động có gia tốc không đổi (mà ta có thể giải dễ dàng bằng Tích phân), nói rằng "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một thời gian nào đó cho trước một khoảng cách hoàn toàn bằng với khoảng cách ấy mà sẽ đi được nếu nó đang chuyển động liên tục trong cùng một thời gian với tốc độ trung bình".[32]
Nicole Oresme
Oresme đã đi trước Galileo trong việc nghiên cứu tích phân
Nicole Oresme tại Đại học Paris và Giovanni di Casali người Italia độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thị của quan hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường đi được.[33] Trong một buổi thảo luận sau đó về cuốn Hình học của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi tiết tổng quát trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kì tính chất nào mà tăng như số lẻ. Do Euclid đã chứng minh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng các tính chất đạt được bởi vật thể tăng theo bình phương thời gian.[34]
Ở châu Âu vào buổi bình minh của thời kì Phục Hưng, toán học vẫn còn bị hạn chế bởi các ký hiệu cồng kềnh sử dụng hệ ghi số La Mã và diễn đạt các quan hệ bằng từ ngữ, hơn là bằng ký hiệu: không có dấu cộng, không có dấu bằng, và không sử dụng x thay cho đại lượng chưa biết.
Vào thế kỉ 16 các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên những bước tiến mới mà không cần biết đến những nơi khác trên thế giới, tới mức như ngày nay. Bước tiến đầu tiên trong số đó là nghiệm tổng quát của phương trình bậc ba, thông thường được ghi công cho Scipione del Ferro vào khoảng 1510, nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi Johannes Petreius ở Nürnberg trong cuốn Ars magna của Gerolamo Cardano, trong đó cũng có nghiệm tổng quát của phương trình bậc bốn từ học trò của Cardano Lodovico Ferrari.
Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho và lấy lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của vật lý học. Quá trình này càng được thúc đẩy bởi những tiến bộ trong ngành in. Cuốn sách toán học sớm nhất được in là cuốn Theoricae nova planetarum của G. v. Peuerbach vào 1472, theo sau là một cuốn sách về số học thương mại Treviso Arithmetic năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của Euclid, cuốn Cơ sở được in và xuất bản bởi Ratdolt năm 1482.
Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồ chính xác cho những khu vực rộng lớn, lượng giác đã phát triển thành một ngành lớn của toán học. Bartholomaeus Pitiscus là người đầu tiên sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) trong cuốn sách cùng tên của ông vào năm 1595. Bảng sin và cosin của Regiomontanus được xuất bản vào 1533.[35]
Regiomontanus, Đức
François Viète, Pháp
Đến cuối thế kỉ, nhờ có Johannes Müller von Königsberg (1436-1476) và François Viète (1540-1603), cùng với những người khác, mà toán học đã được viết bằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng mà không quá khác xa so với các ký hiệu sử dụng ngày nay.
Thế kỉ 17
Thế kỉ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn châu Âu.
Galileo, một người Italia, đã quan sát các Mặt Trăng của Sao Mộc trên quỹ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng dựa trên một đồ chơi nhập khẩu từ Hà Lan.
Mô tả của Tychoo về quỹ đạo của Mặt Trăng, Mặt Trời và các hành tinh
Tycho Brahe, ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn các dữ liệu toán học mô tả các vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học trò của ông, nhà toán học người Đức Johannes Kepler, bắt đầu làm việc với các dữ liệu này. Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việc tính toán, John Napier, ở Scotland, là người đầu tiên nghiên cứu logarit tự nhiên. Kepler thành công trong việc lập công thức toán học các định luật của chuyển động hành tinh. Hình học giải tích được phát triển bởi René Descartes (1596-1650), một nhà toán học và triết học người Pháp, đã cho phép những quỹ đạo này có thể vẽ được trên đồ thị, trong hệ toạ độ Descartes. Xây dựng dựa trên những công trình đi trước bởi rất nhiều nhà toán học, Isaac Newton, người Anh, đã khám phá ra các định luật của vật lý để giải thích định luật Kepler, và cùng đưa đến một khái niệm bây giờ ta gọi là giải tích. Một cách độc lập, Gottfried Wilhelm Leibniz, ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các ký hiệu giải tích vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Khoa học và toán học đã trở thành một nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan ra toàn thế giới.[36]
Thêm vào ứng dụng của toán học đối với ngành thần học, toán học ứng dụng bắt đầu mở rộng ra các lĩnh vực mới khác, với các lá thư giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal. Pascal và Fermat đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất và các định luật tổ hợp tương ứng trong các thảo luận của họ về trò đánh bạc. Pascal, với Sự đánh cuộc Pascal, đã cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất mới của mình để tranh luận về một cuộc sống theo tôn giáo, thực tế là dù xác suất thành công có nhỏ đi nữa, phần lợi vẫn là vô cùng. Trong hoàn cảnh này, điều đó đã dự báo trước sự phát triển của lý thuyết thỏa dụng ở nửa sau thế kỉ 18-19
Như ta đã thấy, sự hiểu biết về các số tự nhiên 1, 2, 3,... còn trước bất kì văn bản viết nào. Những nền văn minh sớm nhất - ở Lưỡng Hà, Ai Cập, Ấn Độ và Trung Quốc - đều đã biết đến số học.
Một cách để xem xét sự phát triển của rất nhiều hệ toán học hiện đại khác nhau là xem các hệ mới được nghiên cứu để trả lời các câu hỏi về số học của các hệ cũ hơn. Trong thời tiền sử, phân số trả lời được câu hỏi: số nào, khi nhân với 3, thì được kết quả là 1. Ở Ấn Độ và Trung Quốc, và rất lâu sau ở Đức, các số âm được phát triển đề trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi lấy một số nhỏ trừ đi số lớn. Việc phát minh ra số không có thể là để trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi trừ một số cho chính nó.
Một câu hỏi tự nhiên khác là: căn bậc hai của số hai là kiểu số gì? Người Hy Lạp đã biết rằng nó không phải một phân số, và câu hỏi này đã đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển liên phân số. Nhưng một câu trả lời tốt hơn xuất hiện cùng với sự phát minh ra chữ số thập phân, phát triển bởi John Napier (1550-1617) và được hoàn chỉnh sau đó bởi Simon Stevin. Sử dụng các chữ số thập phân, và một ý tưởng mà tiên đoán trước được khái niệm về giới hạn, Napier cũng đã nghiên cứu một hằng số mới, mà Leonhard Euler (1707-1783) đã đặt tên là số e.[37]
Euler có rất nhiều ảnh hưởng tới việc chuẩn hóa các ký hiệu và thuật ngữ toán học. Ông đã đặt tên căn bậc hai của âmmột bằng ký hiệu i. Ông cũng phổ biến việc sử dụng chữ cái Hy Lạp để chỉ tỉ số của chu vi một đường tròn đối với đường kính của nó. Sau đó ông còn phát triển thêm một trong những công thức đáng chú ý nhất của toán học:
Xuyên suốt thế kỉ 19 toán học nhanh chóng trở nên trừu tượng. Trong thế kỉ này đã sống một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Không kể đến rất nhiều cống hiến cho khoa học, trong toán học lý thuyết ông đã làm nên các công trình có tính cách mạng về hàm số với biến phức trong hình học và về sự hội tụ của các chuỗi. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên của định lý cơ bản của đại số và của luật tương hỗ bậc hai.
Thế kỉ này chứng kiến sự phát triển của hai dạng hình học phi Euclid, trong đó tiên đề về đường thẳng song song của hình học Euclid không còn đúng nữa. Trong hình học Euclid, cho một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó, thì chỉ có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đó mà thôi.
Lobachevsky
Janos Bolyai
Riemann
Nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky và đối thủ của ông, nhà toán học Hungary Janos Bolyai, độc lập với nhau sáng lập ra hình học hyperbolic, trong đó sự duy nhất của các đường thẳng song song không còn đúng nữa, mà qua một điểm ngoài đường thẳng có thể kẻ được vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Trong hình học này tổng các góc của một tam giác có thể nhỏ hơn 180°.
Các hình học mới xuất hiện thế kỷ 19: Hình học Hyperbolic của Lobachevsky Hình học cổ điển Euclid Hình học Elliptic
Hình học Elliptic đã được phát triển sau đó vào thế kỉ 19 bởi nhà toán học người Đức Bernhard Riemann; ở đây không thể tìm thấy đường thẳng song song và tổng các góc của một tam giác có thể lớn hơn 180°. Riemann cũng phát triển hình học Riemann, trong đó hợp nhất và tổng quát hóa cao độ ba loại hình học, và ông định nghĩa khái niệm một đa tạp, trong đó tổng quát hóa khái niệm về đường và mặt. Các khái niệm này rất quan trọng trong Thuyết tương đối của Albert Einstein.
Thêm vào những hướng mới trong toán học, các nền toán học cũ hơn được đưa vào các nền tảng logic mạnh hơn, đặc biệt là trong trường hợp của giải tích với các công trình của Augustin Louis Cauchy và Karl Weierstrass.
William Rowan Hamilton
Cauchy
Karl Weierstrass
Một dạng đại số mới được phát triển vào thế kỉ 19 gọi là Đại số Boole, được phát minh bởi nhà toán học người Anh George Boole. Nó là một hệ chỉ gồm các số 0 và 1, một hệ mà ngày nay có những ứng dụng quan trọng trong khoa học máy tính.
Niels Henrik Abel
Évariste Galois
Cũng lần đầu tiên, các giới hạn của toán học đã được khám phá. Niels Henrik Abel, một người Na Uy, và Évariste Galois, một người Pháp, đã chứng minh được rằng không có phương pháp đại số để giải phương trình đại số với bậc lớn hơn bốn. Các nhà toán học thế kỉ 19 khác áp dụng kết quả này trong chứng minh của họ rằng thước kẻ và compa là không đủ để chia ba một góc, để dựng cạnh của một hình lập phương mà thể tích của nó gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước, hay để dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước (còn gọi là phép cầu phương hình tròn). Các nhà toán học đã tốn công vô ích để giải tất cả các bài toán này từ thời Hy Lạp cổ đại.
Các nghiên cứu của Abel và Galois về nghiệm của rất nhiều loại phương trình đa thức khác nhau đã đặt nền móng cho các phát triển sâu hơn về lý thuyết nhóm, và các lĩnh vực liên quan của đại số trừu tượng. Trong thế kỉ 20 các nhà vật lý va các nhà khoa học khác đã thấy lý thuyết nhóm là một cách lý tưởng để nghiên cứu symmetry.
Trước thế kỉ 20, có rất ít các nhà toán học thật sự sáng tạo trên thế giới ở bất kì thời điểm nào. Phần lớn vì các nhà toán học hoặc sinh ra trong gia đình giàu có, như Napier, hoặc được hậu thuẫn bởi các nhân vật giàu có, như Gauss. Có rất ít người cảm thấy cuộc sống nghèo nàn dạy học ở trường đại học, như Fourier. Niels Henrik Abel, không thể nhận được một vị trí nào, đã chết với tài sản là sự suy dinh dưỡng.
Thế kỉ 20
David Hilbert
Tính chuyên nghiệp của nhà toán học ngày càng trở nên quan trọng vào thế kỉ 20. Mỗi năm, hàng trăm bằng tiến sĩ trong toán học được trao, và các ngành nghề đều có trong giảng dạy và công nghiệp. Phát triển toán học đã tăng với một tốc độ cực nhanh, với quá nhiều phát triển mới về khảo sát để thậm chí động chạm tới hầu hết các lĩnh vực quan trọng nhất.
Vào 1900, David Hilbert đưa ra danh sách 23 bài toán chưa có lời giải trong toán học tại Hội nghị các nhà toán học quốc tế. Các bài toán này bao trùm rất nhiều lĩnh vực của toán học và đã tạo nên sự chú ý đặc biệt trong toán học thế kỉ 20. Hiện nay mười bài toán đã có lời giải, bảy đã giải được một phần và hai bài vẫn còn mở. Bốn bài còn lại quá lỏng để nói rằng liệu đã giải được chưa. Hilbert cũng đã đặt nền móng cho việc tiên đề hóa hình học với cuốn sách "Grundlagen der Geometrie" (Nền tảng của Hình học) bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền thống. Chúng tránh đi những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, mà các tác phẩm của ông (Euclid) lúc đó vẫn được xem như sách giáo khoa. Ông mong muốn hệ thống hóa toán học trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ, tin rằng:
Tất cả toán học có thể suy ra từ một hệ thống hữu hạn các tiên đề được chọn ra một cách đúng đắn
Rằng một hệ thống tiên đề như vậy là có thể chứng minh được tính nhất quán (tính không mâu thuẫn) của nó
Những năm 1930, Kurt Gödel đã đưa ra định lý bất toàn (Gödel's incompleteness theorems) khẳng định rằng bất kì một hệ tiên đề hình thức độc lập nào đủ mạnh để miêu tả số học cũng hàm chứa những mệnh đề không thể khẳng định mà cũng không thể phủ định; tính nhất quán của một hệ thống tiên đề không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó. Mở rộng ra, không thể đi tìm tính chân lý của toán học (và của khoa học nói chung) bên trong cấu trúc duy lý của bản thân toán học hay của khoa học đó; cái đúng của toán học phải tìm ngoài toán học.
Năm 1947, tác phẩm "Cơ sở phân tích kinh tế" của Paul Samuelson công bố được xem là khởi đầu của toán kinh tế đương đại.[38]
Năm 1952, Sir John Anthony Pople (31/10/1925-15/3/2004) nhà hóa học người Anh tại đại học Cambridge đã vận dụng toán học trong hóa học, lập ra công thức cho một sơ đồ cơ bản để phát triển những mô hình toán học phục vụ nghiên cứu phân tử mà không cần tiến hành thí nghiệm. Ông đã sử dụng máy tính phục vụ cho việc kiểm tra và xác định cấu trúc hóa học cũng như các chi tiết của vật chất. Walter Kohn người Áo (9/3/1923-19/4/2016), làm việc tại đại học Santa Barbara (Mỹ) người nghiên cứu lý thuyết về mật độ, đã đơn giản hóa mô tả toán học về sự liên kết giữa các nguyên tử tạo nên phân tử.
Những năm 60-70 của thế kỷ 20, việc giáo dục toán học đã bắt đầu sử dụng các phương pháp mới, trong đó nghiên cứu toán được bắt đầu từ những lĩnh vực cơ sở như lý thuyết tập hợp, logic sơ cấp, hệ thống số và hệ thống đếm, số học đồng nhất mô-đun (modular consistency arithmetic).[39]
Andrew Wiles, làm việc một mình trong văn phòng trong nhiều năm trời, cuối cùng đã chứng minh được Định lý lớn Fermat vào năm 1995, kết thúc hơn 300 năm đi tìm lời giải.
Nhóm Bourbaki của Pháp đã cố gắng đưa toàn bộ toán học thành một thể thống nhất chung, xuất bản dưới bút danhNicolas Bourbaki. Công trình khổng lồ của họ đã gây rất nhiều tranh luận trong giáo dục toán học.
Đến cuối thế kỉ, toán học đã thậm chí thâm nhập vào nghệ thuật, như hình học fractal đã tạo nên những hình thù đẹp đẽ chưa từng thấy bao giờ.
Thế kỉ 21
Vào buổi bình minh của thế kỉ 21, rất nhiều nhà giáo dục đã bày tỏ quan ngại về một lớp người nghèo, không được học hành về toán học và khoa học.[41] Trong khi đó toán học, khoa học, công trình sư và công nghệ đã cùng nhau tạo nên những tri thức, kết nối, và tài sản mà các triết gia cổ đại không dám mơ đến.
Vào giữa tháng 3 năm 2007, một đội các nhà nghiên cứu khắp Bắc Mĩ và châu Âu đã sử dụng các mạng máy tính để vẽ sơ đồ E8 thuộc nhóm Lie.[42] Mặc dù ta chưa thể biết chính xác việc này có ứng dụng gì, nhưng khám phá này đánh dấu một mốc quan trọng về cả tinh thần hợp tác và công nghệ máy tính trong toán học hiện đại, khi xây dựng mô hình vật thể phức tạp nhất mà con người từng biết đến với 248 chiều, với dung lượng thể hiện lớn hơn cả bộ gen con người.[43]
Cấu trúc E8 hai chiều, thực hiện bởi Peter McMullen
E8 ba chiều
E8
Những vấn đề toán học còn chờ đợi trong tương lai
Bảy bài toán thiên niên kỷ
Ngày 24/5/2000, Viện Toán học Clay công bố danh sách bảy bài toán chưa giải được với giải thưởng cho việc giải quyết mấu chốt trong việc giải mỗi bài là 1 triệuđô la Mỹ:[44]
^Adelphi University. “Mathematics” (bằng tiếng Anh). Adelphi University. Truy cập ngày 22 tháng 3 năm 2017. Mathematics is the art and science of abstraction; it is the systematic study of quantity, structure, space, and change; to paraphrase Newton, it is the language in which the universe is written.
^Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
^Henahan, Sean (2002). “Art Prehistory”. Science Updates. The National Health Museum. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.
^ abWilliams, Scott W. (2005). “An Old Mathematical Object”. MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.
^Kellermeier, John (2003). “How Menstruation Created Mathematics”. Ethnomathematics. Tacoma Community College. Lưu trữ bản gốc ngày 23 tháng 12 năm 2005. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.
^Thom, Alexander and Archie Thom, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom, (Cambridge: Cambridge Univ. Pr., 1988) ISBN 0-521-33381-4
^Pearce, Ian G. (2002). “Early Indian culture - Indus civilisation”. Indian Mathematics: Redressing the balance. School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews. Bản gốc lưu trữ ngày 28 tháng 12 năm 2008. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.
^Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. tr. 30–31.
^Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0
^Martin Bernal, "Animadversions on the Origins of Western Science", pp. 72-83 in Michael H. Shank, ed., The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages, (Chicago: Nhà in Đại học Chicago) 2000, về các chứng minh toán học xem trang 75.
^Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141 "No work, except The Bible, has been more widely used...."
^F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi. Paris.
^Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine68 (3), p. 163-174.
^Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", pp. 135-154 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Oxford: Basil Blackwell).
^Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).
^Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-462 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)
^Guy Beaujouan, The Transformation of the Quadrivium", pp. 463-487 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)
^Grant, Edward and John E. Murdoch (1987), eds., Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.
^Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 421-440.
^Murdoch, John E. (1969) "Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology", pp. 215-254 in Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institut d'Études Médiévales), at pp. 224-227.
^Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 210, 214-15, 236.
^Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), p. 284.
^Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 332-45, 382-91.
^Nicole Oresme, "Questions on the Geometry of Euclid" Q. 14, pp. 560-5 in Marshall Clagett, ed., Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1968).
^Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 0-393-32030-8.
^Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, p. 379, "...the concepts of calculus...(are) so far reaching and have exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated."
^Estela A. Gavosto, Steven G. Krantz, William McCallum, Editors, Contemporary Issues in Mathematics Education, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8
^“Mathematicians Map E8” (Thông cáo báo chí). Harminka, Hareyan Publishing LLC. ngày 20 tháng 3 năm 2007.
MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). Một website đã đạt một số giải thưởng có chứa các tiểu sử chi tiết về rất nhiều nhà toán học lịch sử và cùng thời, cũng như các thông tin về các đường cong nổi tiếng và rất nhiều chủ để về lịch sử toán học.
History of Mathematics Home Page (David E. Joyce; Clark University). Bài báo về rất nhiều chủ đề trong lịch sử toán học với một danh sách tài liệu liên quan phong phú.
The History of Mathematics (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin). Tập hợp các bài về toán học giữa thế kỉ 17 và 19.
Mathematics Pages (Jeff Miller). Chứa các thông tin về sự sử dụng các ký hiệu và thuật ngữ thời kì sơ khai trong toán học cũng như tập hợp các tem thư có hình các nhà toán học. Bản lưu
.png)
.gif)
.png)
