Юрай Куцка розпочав свої футбольні кроки в місцевій команді «Пр'євідза»", та провів там два сезони, але заради професійного футболу перейшов до команди вище класом — «Подбрезова», за яку провів вдалий сезон, а згодом він підписав контракт у 2007 році з командою чемпіоном попереднього сезону Словацької Суперліги — «Ружомберок», в якій провів 1,5 сезони. За порадою фахівців, він в січні 2009 року підписав контракт з титулованою празькою «Спартою», в якій наступного сезону здобув золоті нагороди Першої чеської футбольної ліги.
У сезоні 2021/22 виступав на правах оренди за англійський «Вотфорд»[1], а після вильоту команди з Прем'єр-ліги повернувся на батьківщину, ставши гравцем клубу «Слована» (Братислава), підписавши з діючим чемпіоном дворічну угоду[2].
У 2010 році Куцка потрапив до складу збірної Словаччини на чемпіонат світу у ПАР, незважаючи на те, що Куцка не грав у жодних матчах кваліфікації. Тим не менш на «мундіалі» Юрай зіграв у трьох матчах. Згодом грав з командою на чемпіонатах Європи 2016 та 2020 років[3].
