Функція Міттаг-Лефлера

Функція Міттаг-Лефлера — функція Ec(z) комплексної змінної z, введена Міттаг-Лефлером в 1905 році як узагальнення показникової функції:

${\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}}$, ${\displaystyle \alpha \in (0,+\infty )}$

В даній формулі ${\displaystyle \Gamma }$ позначає гамма-функцію. Для вказаних значень параметра ${\displaystyle \alpha }$ функція Міттаг-Лефлера є голоморфною на всій комплексній площині. Можна також визначити узагальнені функції Міттаг-Лефлера:

${\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}}$, ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$.

Якщо дійсна частина ${\displaystyle \alpha }$ — додатне число то даний ряд є збіжним для всіх значень комплексного аргументу і функція є голоморфною на всій комплексній площині.

Приклади

• Показникова функція:

${\displaystyle E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}$

• Функція помилок:

${\displaystyle E_{1/2}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}$

• Гіперболічний косинус:

${\displaystyle E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).}$

• Сума геометричної прогресії:

${\displaystyle E_{0}(z)={\frac {1}{1-z}}.}$

В даному прикладі параметр рівний нулю, тож функція не є голоморфною в точці 1.

Посилання

• Функція Міттаг-Лефлера на сайті MathWorld

Література

• Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, М., 1970.