Формула Маграбе

У фінансовій математиці, формула Маграбе — це одна з формул оцінки опціонів. Її застосовують до опціону на обмін (опціон Маграбе) одного ризикованого активу на інший у момент погашення. Формулу незалежно запропонували Вільям Маграбе і Стенлі Фішер 1978 року.

Визначення

Нехай ${\displaystyle S_{1}(t)}$ і ${\displaystyle S_{2}(t)}$ — ціни двох ризикованих активів у момент ${\displaystyle t}$, кожен з них має фіксований неперервний дивіденд рівний ${\displaystyle q_{i}}$. Опціон ${\displaystyle C}$, який ми хочемо оцінити, дає покупцеві право (але не обов'язок) обміняти другий актив на перший у момент погашення ${\displaystyle T}$. Іншими словами, його виграш ${\displaystyle C(T)}$ становитиме ${\displaystyle \max(0,S_{1}(T)-S_{2}(T))}$.

Модель ринку Маграбе передбачає тільки існування двох ризикованих активів, чиї ціни дотримуються геометричного броунівського руху. Волатильності цих броунівських рухів не сталі, але важливо, що волатильність ${\displaystyle \sigma }$ їх відношення ${\displaystyle S_{1}/S_{2}}$ є константою. Зокрема, модель не передбачає існування безризикового активу (такого як облігація з нульовим купоном) або будь-якої норми відсоткової ставки.

Якщо волатильності ${\displaystyle S_{i}}$ дорівнюють ${\displaystyle \sigma _{i}}$, то ${\displaystyle \textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}}$, те ${\displaystyle \rho }$ — коефіцієнт кореляції броунівських рухів ${\displaystyle S_{i}}$.

Формула Маграбе встановлює справедливу ціну опціону в початковий момент часу як:

${\displaystyle e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})}$

де через ${\displaystyle N}$ позначено кумулятивний стандартний нормальний розподіл,

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$,

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$.

Доведення

Формула доводиться зведенням до формули Блека — Шоулза:

• По-перше, розглянемо обидва активи, оцінені в одиницях ${\displaystyle S_{2}}$ (у таких випадках кажуть, що ${\displaystyle S_{2}}$ використовується як рахункові гроші), це означає, що одиниця першого активу тепер коштує ${\displaystyle S_{1}/S_{2}}$ одиниць другого активу, а другий актив коштує рівно 1.
• За такого вибору рахункових грошей, другий актив стає безризиковим і його дивідендна ставка ${\displaystyle q_{2}}$ збігається з нормою відсоткової ставки. Дохід опціону, перерахований відповідно до зміни рахункових грошей, дорівнює ${\displaystyle \max(0,S_{1}(T)/S_{2}(T)-1)}$.
• Таким чином, вихідний опціон стає кол-опціоном на перший базовий актив (з його рахунковою ціною) ціною страйк рівною 1 одиниці безризикового активу. Зазначимо, що дивідендна ставка ${\displaystyle q_{1}}$ першого активу залишається тією ж самою навіть після перерахунку.
• Застосовуючи формулу Блека — Шоулза до цих значень як до відповідних вхідних даних, наприклад, значення початкового активу ${\displaystyle S_{1}(0)/S_{2}(0)}$, відсоткова ставка ${\displaystyle q_{2}}$, волатильність ${\displaystyle \sigma }$ і т. д, отримаємо ціну опціону, виражену в рахункових грошах.
• Оскільки остаточну ціну опціону виражено в одиницях ${\displaystyle S_{2}}$, то множення на ${\displaystyle S_{2}(0)}$ переведе відповідь у початкові одиниці, тобто звичайну валюту, в якій і отримаємо формулу Маграбе.

Див. також

• Модель Блека — Шоулза
• Модель Блека

Література

• William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
• Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978

Посилання

• The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg [Архівовано 12 серпня 2011 у Wayback Machine.]