Торстен Карлеман

Торстен Карлеман
швед. Tage Gillis Torsten Carleman
Ім'я при народженні	швед. Tage Gillis Torsten Carleman[1]
Народився	8 липня 1892(1892-07-08)[2][3] Visseltofta^d, Швеція[3]
Помер	11 січня 1949(1949-01-11)[2] (56 років) Дандерюд^d, комуна Дандерид, лен Стокгольм, Швеція[3]
Поховання	Visseltofta Church^d[4]
Країна	Швеція
Діяльність	математик, викладач університету
Alma mater	Університет Уппсала (1916)[2] Katedralskolan^d (1910)
Галузь	математичний аналіз
Заклад	Лундський університет[2] Стокгольмський університет[2] Університет Уппсала[2]
Посада	директор[5]
Науковий керівник	Erik Albert Holmgren^d[6]
Аспіранти, докторанти	Hans Rådström^d[7] Åke Pleijel^d[7] Ulf Hellsten^d[7] Fredrik Ehrnst^d[7] Karl Persson^d[7] Ulf Hellsten^d[7] Nils Juringius^d[7]
Членство	Саксонська академія наук Шведська королівська академія наук[2] Королівське фізіографічне товариство в Лунді^d[2]
Родичі	Ерік Леммінг[2]
Нагороди	премія Бйоркена^d (1941) Cours Peccot^d (1922)
Торстен Карлеман у Вікісховищі

Таге Йілліс Торстен Карлеман (швед. Torsten Carleman 1892—1949) — шведський математик. Автор праць в галузі класичного аналізу та його додатків. Карлеман узагальнив класичну теорему Ліувіля, досліджував квазіаналітичні функції. Відомі теореми Карлемана про квазіаналитичні класах функцій, умовах визначеності проблеми моментів, рівномірному наближення цілими функціями^[8].

Як директор Інституту Міттаг-Леффлера (з 1927 року), Карлеман протягом більше двох десятиліть був визнаним лідером шведської математичної школи. Член Шведської королівської академії наук (1926), член-кореспондент Саксонської академії наук (1934), редактор журналу «Acta Mathematica».

Життєпис

Торстен Карлеман народився в родині шкільного вчителя Карла Юхана Карлемана. У 1910 році закінчив школу і вступив до Упсальсього університету, який закінчив у 1916 році. В 1917 році захистив дисертацію і став доцентом Уппсальського університету. Його перша книга «Сингулярні інтегральні рівняння з дійсним симетричним ядром» (1923) зробила ім'я Карлемана знаменитим. З 1923 року — професор Лундського університету. У 1924 році за рекомендацією Йоста Літтаг-Леффлера призначений професором Стокгольмського університету^[9][8][10].

Карлеман мав добрі стосунки з багатьма математиками, відвідував лекції в Цюріху, Геттінгені, Оксфорді, Сорбонні, Нансі та Парижі, часто сам виступав там з лекціями. Часто відвідував Париж^[10]. Відрізнявся своєрідним похмурим почуттям гумору. Незадовго до смерті він сказав своїм учням, що «викладачів слід розстрілювати у віці п'ятдесяти років»^[11]. В останнє десятиліття свого життя зловживав спиртним^[12].

У 1929 році одружився з Анною-Лізою Лемінг (1885—1954), в 1946 році подружжя розійшлося.

Наукова діяльність

Основні напрямки досліджень Карлемана — інтегральні рівняння і теорії функцій. Багато його творів випередили свій час і тому не були зразу належно оцінені, але тепер розглядаються як класичні.^[10].

Дисертація Карлемана та його перші праці на початку 1920-х років була присвячена сингулярним інтегральним рівнянням. Він розробив спектральну теорію для інтегральних операторів з «ядром Карлемана», тобто таким ядром K(x, y), що K(y, x) = K(x, y) для майже всіх (x, y), і при цьому:

${\displaystyle \int |K(x,y)|^{2}dy<\infty }$

для майже кожного х^[13][14].

В середині 1920-х років Карлеман розробив теорію квазианалітичних функцій. Він довів необхідну і достатню умову квазіаналітичності, яка тепер називається теоремою Данжуа–Карлемана^[15]. Як наслідок, він отримав «умову Карлемана» — достатню умову для визначення проблеми моментів^[16]. Як один із кроків у доказі теореми Данжуа–Карлемана (1926), він представив нерівність Карлемана:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leqslant e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

справедливі для будь-якої послідовності невід'ємних дійсних чисел ${\displaystyle a_{n}}$^[17]. Ввів поняття «континууму Карлемана»^[18].

Приблизно в той же час він встановив «формули Карлемана» в комплексному аналізі, які, на відміну від формули Коші, відтворюють аналітичну функцію у сфері за її значенням на частини кордону (з ненульовою мірою Лебега). Він також довів узагальнення формули Єнсена, яке тепер часто називається формулою Єнсена — Карлемана^[9].

У 1930-ті роки, незалежно від Джона фон Неймана, Карлеман виявив варіант ергодичної теореми (the mean ergodic theorem)^[19]. Пізніше він займався теорією диференціальних рівнянь в приватних похідних, де представив «оцінки Карлемана»,^[20], причому знайшов спосіб вивчити спектральні асимптотики операторів Шредінгера^[21].

У 1932 році, розвиваючи роботи Анрі Пуанкаре, Еріка Івара Фредгольма и Бернарда Купмана, він розробив вбудовування Карлемана (також зване лінеаризацією Карлемана)^[22][23]. Карлеман також вперше розглянув граничну задачу аналітичних функцій із зсувом, що змінює напрямок обходу контуру на зворотне («гранична задача Карлемана»).

У 1933 році Карлеман опублікував короткий доказ того, що зараз називається теоремою Данжуа — Карлемана — Альфорса^[24]. Ця теорема стверджує, що число асимптотичних значень, прийнятих цілою функцією порядку ρ вздовж кривих на комплексній площині в напрямку до нескінченної абсолютною величиною, менше або дорівнює 2ρ.

У 1935 році Карлеман представив узагальнення перетворення Фур'є, яке стимулювало подальші роботи Мікіо Сато про гіперфункції^[25]; його замітки були опубліковані в Carleman, (1944). Він розглянув функції ${\displaystyle f}$ не більше ніж поліноміального зростання і показав, що кожна така функція може бути розкладена як ${\displaystyle f_{+}+f_{-}}$, де доданки є аналітичними у верхній і нижній напівплощинах відповідно, причому уявлення є по суті єдиним. Потім він визначив Фур'є-образи ${\displaystyle f_{+},f_{-}}$ як ще одну таку пару ${\displaystyle g_{+},g_{-}}$. Це визначення відповідає тому, що дано пізніше Лораном Шварцем для узагальнених функцій повільного зростання, хоча концептуально від нього відрізняється. Підхід Карлемана викликав безліч робіт, що розширюють його ідеї^[26].

Повернувшись до математичної фізики в 1930-ті роки, Карлеман дав перший доказ глобального існування для рівняння Больцмана в кінетичній теорії газів (його результат відноситься до просторово-однорідної нагоди).^[27]. Ця робота була опубліковані посмертно в Carleman, (1957).

Вибрані праці

Карлеман опублікував п'ять книг і шістдесят статей з математики.

• Carleman, T. Sur les équations integrales singulières à noyau réel et symétrique, Uppsala, 1923.
• Carleman, T. (1926). Les fonctions quasi analytiques (French) . Paris: Gauthier-Villars. JFM 52.0255.02..
• Carleman, T. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen, «Berichte über die Verhandlungen Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-physikalische Klasse», 1936, Bd 88.
• Carleman, T. (1944). L'Intégrale de Fourier et Questions que s'y Rattachent (French) . Uppsala: Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler. MR 0014165..
• Carleman, T. (1957). Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz (French) . Uppsala: Publ. Sci. Inst. Mittag-Leffler. MR 0098477.
• Carleman, Torsten (1960), Pleijel, Ake; Lithner, Lars; Odhnoff, Jan (ред.), Edition Complete Des Articles De Torsten Carleman, Litos reprotryk and l'Institut mathematique Mittag-Leffler.

• Карлеман Т. Математичні задачі кінетичної теорії газів. М.: Іноземна література, 1960. 125 с.

Примітки

1. Svenskt biografiskt lexikon — 1917.
   d:Track:Q379406d:Track:Q1724971
2. Архів історії математики Мактьютор — 1994.
   d:Track:Q547473
3. T G Torsten Carleman — 1917.
   d:Track:Q379406d:Track:Q1724971
4. Gravar.se
   d:Track:Q28008113
5. List of Directors — Mittag-Leffler Institute.
   d:Track:Q1848697
6. Математичний генеалогічний проєкт — 1997.
   d:Track:Q829984
7. Математичний генеалогічний проєкт — 1997.
   d:Track:Q829984
8. Математики. Механики, 1983.
9. Carlson, F. (1950). Torsten Carleman. Acta Math. (French) . 82 (1): i—vi. doi:10.1007/BF02398273.
10. MacTutor.
11. Gårding, Lars. Mathematics and mathematicians. Mathematics in Sweden before 1950. History of Mathematics. Т. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. с. 206. ISBN 0-8218-0612-2. MR 1488153.
12. Wiener, Norbert (1956). I am a mathematician: The later life of a prodigy (вид. later republished by MIT Press). Garden City, N. Y.: Doubleday and Co. с. 317—318. MR 0077455.
13. Dieudonné, Jean (1981). History of functional analysis. North-Holland Mathematics Studies. Т. 49. Amsterdam–New York: North-Holland Publishing Co. с. 168–171. ISBN 0-444-86148-3. MR 0605488.
14. Ахиезер, Н. И. (1947). Интегральные операторы с ядрами Карлемана. Успехи математических наук. 2 (5(21)): 93—132.
15. Mandelbrojt, S. (1942). Analytic functions and classes of infinitely differentiable functions. Rice Inst. Pamphlet. 29 (1).
16. Akhiezer, N. I. (1965). The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis. Oliver & Boyd. MR 0184042.
17. Pečarić, Josip (2001). Carleman's inequality: history and new generalizations. Aequationes Mathematicae. 61 (1–2): 49—62. doi:10.1007/s000100050160.
18. Carleman theorem
19. Wiener, N. (1939). The ergodic theorem. Duke Math. J. 5 (1): 1—18. doi:10.1215/S0012-7094-39-00501-6.
20. Kenig, Carlos E. (1987). Carleman estimates, uniform Sobolev inequalities for second-order differential operators, and unique continuation theorems. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: Amer. Math. Soc. с. 948—960. MR 0934297.
21. Clark, Colin (1967). The asymptotic distribution of eigenvalues and eigenfunctions for elliptic boundary value problems. SIAM Rev. 9: 627—646. doi:10.1137/1009105.
22. Kowalski, Krzysztof; Steeb, Willi-Hans (1991). Nonlinear dynamical systems and Carleman linearization. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. с. 7. ISBN 981-02-0587-2. MR 1178493.
23. Kowalski, K (1994). Methods of Hilbert spaces in the theory of nonlinear dynamical systems. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. ISBN 981-02-1753-6. MR 1296251.
24. Torsten Carleman (3 квітня 1933). Sur une inégalité différentielle dans la théorie des fonctions analytiques. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 196: 995—7.
25. Kiselman, Christer O. (2002). Generalized Fourier transformations: The work of Bochner and Carleman viewed in the light of the theories of Schwartz and Sato. Microlocal analysis and complex Fourier analysis (pdf). River Edge, NJ: World Sci. Publ. с. 166—185. MR 2068535.
26. Singh, U. N. (1992). The Carleman-Fourier transform and its applications. Functional analysis and operator theory. Lecture Notes in Math. Т. 1511. Berlin: Springer. с. 181—214. MR 1180762.
27. Cercignani, C. (2008), 134 years of Boltzmann equation. Boltzmann's legacy, ESI Lect. Math. Phys., Zürich: Eur. Math. Soc., с. 107—127, doi:10.4171/057-1/8, MR 2509759

Література

• Боголюбов Алексей Николаевич. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев : «Наукова думка», 1983. — С. 55. — 50 000 прим. (рос.)

Посилання

• Карлеман, Торстен
• Карлемана theorem.