Теорема про монотонний клас — твердження у теорії міри і теорії ймовірностей про рівність монотонного класу і σ-кільця породжених деяким кільцем множин.
Монотонним класом підмножин називається клас M {\displaystyle {\mathcal {M}}} підмножин деякої множини Ω {\displaystyle \Omega } , який є замкнутим щодо операцій зліченного об'єднання і зліченного перетину. А саме:
Нехай R {\displaystyle {\mathcal {R}}} є кільцем множин і m ( R ) {\displaystyle m({\mathcal {R}})} позначає монотонний клас породжений цим кільцем тобто m ( R ) = ⋂ M ( R ) , {\displaystyle m({\mathcal {R}})=\bigcap M({\mathcal {R}}),} де перетин береться по всіх монотонних класах M ( R ) , {\displaystyle M({\mathcal {R}}),} що містять кільце R . {\displaystyle {\mathcal {R}}.} Тоді σ ( R ) = m ( R ) , {\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})=m({\mathcal {R}}),} тобто m ( R ) {\displaystyle m({\mathcal {R}})} є рівним σ-кільцю породженому R {\displaystyle {\mathcal {R}}} — перетину всіх σ-кілець, що містять R . {\displaystyle {\mathcal {R}}.}
Нехай спершу R {\displaystyle {\mathcal {R}}} є водночас кільцем і монотонним класом. Тоді R {\displaystyle {\mathcal {R}}} є також σ-кільцем. Справді нехай A n ∈ R , n ⩾ 1 {\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1} . Тоді із означення кільця випливає, що для кожного n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} множина B n = ⋃ i = 1 n A i ∈ R . {\displaystyle B_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {R}}.} Також B n ⊂ B n + 1 {\displaystyle B_{n}\subset B_{n+1}} для кожного n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} і оскільки R {\displaystyle {\mathcal {R}}} є монотонним класом, то ⋃ n = 1 ∞ B n ∈ R . {\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {R}}.} Але ⋃ n = 1 ∞ B n = ⋃ n = 1 ∞ ( ⋃ i = 1 n A i ) = ⋃ n = 1 ∞ A n . {\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}.} Тому ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ R {\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}} і R {\displaystyle {\mathcal {R}}} є σ-кільцем.
У загальному випадку оскільки кожне σ-кільце є монотонним класом, то m ( R ) ⊂ σ ( R ) . {\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset \sigma ({\mathcal {R}}).} Для доведення протилежного включення згідно попереднього достатньо довести,що також m ( R ) {\displaystyle m({\mathcal {R}})} є кільцем.
Для довільної множини E ∈ m ( R ) {\displaystyle E\in m({\mathcal {R}})} позначимо:
L ( E ) = { C ⊂ Ω | E ∪ C , E ∖ C , C ∖ E ∈ m ( R ) } . {\displaystyle {\mathcal {L}}(E)=\{C\subset \Omega \ |\ E\cup C,\ E\setminus C,\ C\setminus E\in m({\mathcal {R}})\}.}
Тоді:
Перша властивість відразу випливає із того, що R {\displaystyle {\mathcal {R}}} є кільцем і R ⊂ m ( R ) {\displaystyle {\mathcal {R}}\subset m({\mathcal {R}})} . Для другої властивості нехай B n ∈ L ( F ) , n ⩾ 1 {\displaystyle B_{n}\in {\mathcal {L}}(F),\quad n\geqslant 1} і B 1 ⊆ B 2 ⊆ ⋯ {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots } . Тоді для n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} також ( B n ∪ F ) ⊂ ( B n + 1 ∪ F ) , {\displaystyle (B_{n}\cup F)\subset (B_{n+1}\cup F),} ( B n ∖ F ) ⊂ ( B n + 1 ∖ F ) {\displaystyle (B_{n}\setminus F)\subset (B_{n+1}\setminus F)} і ( F ∖ B n + 1 ) ⊂ ( F ∖ B n ) . {\displaystyle (F\setminus B_{n+1})\subset (F\setminus B_{n}).} Із того, що F ∪ C , F ∖ C , C ∖ F ∈ m ( R ) {\displaystyle \ F\cup C,\ F\setminus C,\ C\setminus F\in m({\mathcal {R}})} і означення монотонного класу також
Відповідно ⋃ n = 1 ∞ B n ∈ L ( F ) . {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {L}}(F).} Аналогічно доводиться і випадок перетину спадної послідовності, що доводить властивість 2.Оскільки для довільної множини E ∈ R {\displaystyle E\in {\mathcal {R}}} згідно другої властивості сім'я множин L ( E ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(E)} є монотонним класом, який згідно першої властивості містить R , {\displaystyle {\mathcal {R}},} то m ( R ) ⊂ L ( E ) . {\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(E).} Тому для кожної A 1 ∈ m ( R ) {\displaystyle A_{1}\in m({\mathcal {R}})} і всіх E ∈ R {\displaystyle E\in {\mathcal {R}}} також E ∪ A 1 , E ∖ A 1 , A 1 ∖ E {\displaystyle E\cup A_{1},\ E\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus E} , відповідно для кожної A 1 ∈ m ( R ) {\displaystyle A_{1}\in m({\mathcal {R}})} також m ( R ) ⊂ L ( A 1 ) . {\displaystyle m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(A_{1}).} Відповідно згідно означень для довільних A 1 , A 2 ∈ m ( R ) {\displaystyle A_{1},A_{2}\in m({\mathcal {R}})} множини A 1 ∪ A 2 , A 2 ∖ A 1 , A 1 ∖ A 2 {\displaystyle A_{1}\cup A_{2},\ A_{2}\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus A_{2}} теж належать m ( R ) . {\displaystyle m({\mathcal {R}}).} Відповідно m ( R ) {\displaystyle m({\mathcal {R}})} є кільцем, а тому і σ-кільцем.