Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії — важлива теорема у аналітичній теорії чисел, вперше доведена німецьким математиком Йоганном Петером Густавом Лежен-Діріхле.
Нехай l , k > 0 {\displaystyle l,k>0} — цілі числа, і ( l , k ) = 1 {\displaystyle (l,k)=1} (тобто l , k {\displaystyle l,k} є взаємно простими).
Тоді існує нескінченна кількість простих чисел p {\displaystyle p} таких, що p ≡ l ( mod k ) {\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}} .
З цього випливає, що кожна нескінченна арифметична прогресія, перший член і різниця якої — натуральні взаємно прості числа, містить нескінченну кількість простих чисел.
Теорема в даному формулюванні була доведена Діріхле аналітичними засобами у 1837 році. Надалі були знайдені доведення теореми елементарними методами[1]. Різні такі доведення знайшли Мертенс, Сельберг і Цассенхаус.
Нижче подані приклади кількох арифметичних прогресій і найменших простих чисел у цих прогресіях
При розгляді простих p ≡ l ( mod k ) {\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}} досить часто виявляється, що їх множина має багато властивостей множини всіх простих чисел. Існує чимало теорем і гіпотез, що розглядають тільки прості числа з певного класу лишків або співвідношення множин простих чисел з різних класів лишків.
Наприклад, крім основного твердження теореми Діріхле довів у 1839 році, що для будь-яких фіксованих натуральних взаємно простих чисел l {\displaystyle l} і k {\displaystyle k} :
де сума є по всіх простих числах p {\displaystyle p} з умовою p ≡ l ( mod k ) {\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}} , а φ {\displaystyle \varphi } — функція Ейлера.
Це співвідношення можна інтерпретувати як закон рівномірного розподілу простих чисел за класами лишків mod k {\displaystyle \mod k} , оскільки
якщо сума є по всіх простих числах.
Відомо, що для будь-яких взаємно простих чисел l {\displaystyle l} і k {\displaystyle k} ряд ∑ p 1 p {\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}} , де сума є по простих p ≡ l ( mod k ) {\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}} є розбіжним.