Теорема Адамара про три кола

у комплексному аналізі, теорема Адамара про три кола — це твердження про поведінку голоморфних функцій.

Нехай ${\displaystyle f(z)}$ буде голоморфною функцією на кільці

${\displaystyle r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}.}$

Нехай ${\displaystyle M(r)}$ буде максимумом ${\displaystyle |f(z)|}$ на колі ${\displaystyle |z|=r.}$ Тоді, ${\displaystyle \log M(r)}$ — це опукла функція логарифма ${\displaystyle \log(r).}$ Більше того, якщо ${\displaystyle f(z)}$ не у формі ${\displaystyle cz^{\lambda }}$ для деяких сталих ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle c}$, тоді ${\displaystyle \log M(r)}$ є строго опуклою як функція від ${\displaystyle \log(r).}$

Висновок теореми можна перефразувати як

${\displaystyle \log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leq \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})}$

для будь-яких трьох концентричних кіл радіусів ${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}.}$

Теорема є наслідком теореми Адамара про три прямі. Справді, якщо позначити ${\displaystyle g(z)=f(e^{z})}$ то ${\displaystyle g(z)}$ задовольняє умови теореми Адамара про три прямі на області ${\displaystyle \{z=x+iy\ |\ \log r_{1}<x<\log r_{1}\}.}$ Відповідно, якщо позначити ${\displaystyle m:x\mapsto \sup _{y}|g(x+iy)|,}$ то ${\displaystyle M(r)=m(\log r).}$ Згідно теореми Адамара про три прямі ${\displaystyle \ln(m(\log r))}$ є опуклою функцією і те саме є справедливим для ${\displaystyle \log M,}$ як функції ${\displaystyle \log r.}$

Посилання

• Доведення теореми Адамара про три кола на PlanetMath