Субгармонічна функція
В математиці субгармонічними і супергармонічними функціями називають важливі класи функцій багатьох дійсних змінних, що є узагальненнями гармонічних функцій і мають широке застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, комплексному аналізі, теорії потенціалу.
Означення
Нехай Функція змінної називається субгармонічною якщо для неї виконуються умови:
є напівнеперервною зверху в ![{\displaystyle G;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57f0e2433ff1624498378f0166f86c14d5086c0)
- Якщо
— довільна замкнута куля з центром в і радіусом що міститься в і — дійснозначна неперервна функція визначена на що є гармонічною в і для якої для всіх на границі кулі то також для всіх ![{\displaystyle x\in B(x_{0},r);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9accf512eb94ab4694ccc9f973d486179bc5a165)
![{\displaystyle \varphi (x)\not \equiv -\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ca50ba9243b42b57153bd7aff791f0b2288e64)
Другу умову можна записати кількома еквівалентними способами, зважаючи на властивості гармонічних функцій. Зокрема в тих же позначеннях умову можна записати через інтеграл на сфері. Існує як завгодно мале число таке що
![{\displaystyle u(x_{0})\leqslant I(u;x_{0},r)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u\,d\sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a883197e85156feb5841e5e3ae74236cd681302)
- де
— об'єм одиничної кулі в ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
Еквівалентно умову можна записати через інтеграл по об'єму кулі:
![{\displaystyle u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}u\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b431468d0fd0b2823278e09e073daa1cdfec435b)
Функція називається супергармонічною якщо є субгармонічною функцією.
Комплексні змінні
Якщо то вона є субгармонічною тоді і тільки тоді коли оператор Лапласа є невід'ємним.
На комплексній площині функція комплексної змінної називається субгармонічною, якщо вона є субгармонічною функцією двох дійсних змінних (дійсної і уявної частини комплексної змінної). Тоді в позначеннях комплексного аналізу другу умову у визначенні можна записати як:
де коло і обмежений ним круг знаходяться в області визначення функції. Подібно поняття субгармонічних і супергармонічних функцій вводиться і для комплексних просторів вищих порядків.
Ріманів многовид
Нехай M — ріманів многовид і є напівнеперервною функцією. f називається субгармонічною якщо для кожної відкритої підмножини і довільної гармонічної функції f1 на U, для якої на границі множини U, нерівність виконується всюди на U.
Як і раніше для двічі неперервно диференційовних функцій рівносильною є умова на оператор Лапласа: .
Властивості
- Функція є гармонічною тоді і тільки тоді, коли вона є одночасно субгармонічною і супергармонічною.
- Якщо
є субгармонічними функціями в області і — додатні дійсні числа, то лінійна комбінація теж є субгармонічною функцією.
- Верхня межа
скінченної множини субгармонічних функцій є субгармонічною функцією. Якщо супремум нескінченної множини субгармонічних функцій є напівнеперервною зверху функцією, то він є також субгармонічною функцією.
- Рівномірно збіжна і монотонно спадна послідовності субгармонічних функцій збігаються до субгармонічних функцій.
- Якщо
— субгармонічна функція в , а — опукла неспадна функція на області значень функції в , або якщо — гармонічна функція в , а — опукла функція в тій же області значень, то — субгармонічна функція в . Зокрема, якщо — субгармонічна функція в , то , і де є субгармонічними функціями в ; якщо — гармонічна функція в , то — субгармонічна функція в .
- Максимум субгармонічної функції не може досягатися у внутрішній точці її області визначення, якщо ця функція не є константою.Мінімум функції натомість може досягатися у внутрішній точці. Відповідно для супергармонічних функцій у внутрішніх точках області визначення може досягатися максимум функції але не мінімум.
- Якщо
— субгармонічна функція в області комплексного простору і — голоморфне відображення області в , то є субгармонічною функцією в ![{\displaystyle G'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a085ac47ca21340e15c317458b0428af2fdb8bf3)
- Якщо
— субгармонічна функція у всій площині , що є обмеженою зверху, то (в при аналогічне твердження не є правильним)
Середні значення субгармонічних функцій
- Якщо
є субгармонічною функцією на кільці , то визначені вище функції і (при ), також є опуклими, як функції від при і при .
- Якщо
є субгармонічною функцією на кулі то і є неперервними і неспадними функціями від (вважається ) і також для ![{\displaystyle 0\leqslant r_{1}\leqslant r_{2}:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630ca421b6761b2b93872d53a11f9c802f9f500a)
![{\displaystyle u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)\leqslant I(u;x_{0},r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e89cafab823fe8c8faaf53d04a63869eaa0a56e)
- Функції
і як функції при фіксованих інших параметрах є субгармонійними функціями у своїх областях визначення і також є неперервною функцією.
Теорема Ріса
Ньютонів потенціал і логарифмічний потенціал невід'ємних мас, взяті зі знаком мінус, є субгармонічними функціями всюди в просторі .
З іншого боку, однією з основних в теорії субгармонічних функцій є теорема Ріса про локальне представлення довільної субгармонічної функції у вигляді суми гармонічної функції і взятого зі знаком мінус потенціалу.
Якщо є субгармонічною функцією в області просторі , то для кожної компактної підмножини справедливим є розклад:
![{\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0235dedee26543b64539d964a578081e8fe6cb8b)
і для розмірності 2,
![{\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198a04d0663c052c523e162316115f9e060993af)
де — гармонічна функція, — міра Бореля в .
Якщо є зв'язаною компактною множиною, то також можна здійснити розклад:
![{\displaystyle u(x)=v'(x)-\int _{D}g(x,y)d\mu (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613ed960ea5ea64a7e861d331c889b37731c7a08)
де — найкраща гармонічна мажоранта, — функція Гріна.
Див. також
Література
- Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
- Хейман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980;
- Rado T., Subharmonic functions, В., 1937;
|
|