Візуалізація SVD двовимірної, дійсної матриці зсуву M. Спершу, ми бачимо блакитний одиничний диск з двома векторами стандартного базису. Потім ми бачимо дію M, яка перетворює диск на еліпс. SVD розкладає M на три простих перетворення: початковий поворотV*, масштабування Σ уздовж осі координат і кінцевий поворот U. Довжини півосей σ1 і σ2 є сингулярними значеннями (квадратами власних значень) M, а саме Σ1,1 і Σ2,2.Візуалізація матричного множення в СПМ
Формально, сингулярний розклад матриці розміру , яка складена з дійсних або комплексних чисел, буде розкладанням на множники у вигляді , де — матриця розміру буде дійсною або комплексною унітарною матрицею, буде -прямокутною діагональною матрицею з не від'ємними дійсними числами на діагоналі, і буде дійсною або комплексною унітарною матрицею розміру . Діагональні елементи матриці відомі як сингулярні значення матриці . Стовпчики та стовпчики називаються ліво-сингулярними векторами та право-сингулярними векторами матриці , відповідно.
Сингулярний розклад матриці можна обчислити за допомогою наступних спостережень:
Ліво-сингулярні вектори M є множиною ортонормованих головних векторівMM∗.
Право-сингулярні вектори M є множиною ортонормованих головних векторів M∗M.
Не нульові сингулярні значення M (знаходяться на діагоналі Σ) є квадратними коренями не нульових головних значень як M∗M, так і MM∗.
числа σ зазвичай розташовують в спадаючому порядку, тому матриця Σ однозначно визначається матрицею M.
Сингулярні числа, для яких існують два і більше лінійно незалежних сингулярних векторів називаються виродженими.
Невироджені сингулярні числа мають по одному лівому та правому сингулярному вектору з точністю до множника eiφ (в випадку дійсних чисел з точністю до знака).
Властивості
Стовпці U та V є сингулярними зліва та сингулярними справа векторами для M відповідно.
Кількість ненульових чисел на діагоналі матриці Σ рівне rank Σ = rank M = r (ранг), тому можна скоротити матриці U та V до r стовпців, а матрицю Σ до розміру r×r і отримаємо:
Зв'язок SVD з власними значеннями матриці
SVD існує для всіх прямокутних матриць, на відміну від власних векторів і розкладу по ньому, що існує тільки для деяких квадратних матриць.