Серединний трикутник є образом даного початкового трикутника при гомотетії з центром у центроїді та коефіцієнтом . Таким чином, серединний трикутник подібний до початкового і має той самий центроїд і ті самі медіани, що й початковий трикутник . Довжини сторін серединногоо трикутника вдвічі менші за довжини сторін початкового трикутника .[2]
Периметр серединного трикутника дорівнює півпериметру трикутника , а його площа дорівнює чверті площі трикутника . [3]:стор.177
Чотири трикутники, на які розділяється початковий трикутник сторонами його серединного трикутника , рівні за трьома сторонами, тому їхні площі рівні. Через це іноді «серединними» називають одразу всі чотири, рівні між собою, внутрішні трикутники, одержані з початкового трикутника проведенням у ньому трьох середніх ліній (у термінології серединним називають тільки один з них — центральний).
Ортоцентр серединного трикутника збігається з центром описаного кола даного трикутника , що доводить належність центра описаного кола, центроїда й ортоцентра одній прямій — прямій Ейлера.
Серединний трикутник є подерним трикутником центра описаного кола трикутника відносно трикутника .
Серединний трикутник конгруентний до трикутника, вершинами якого є середини відрізків, що з'єднують ортоцентр і вершини початкового трикутника .[4]:стор.103,#206;стор.108,#1
Центр вписаного кола трикутника лежить всередині його серединного трикутника .[5]:стор.233, лемма 1
Точка всередині трикутника є центром вписаного у трикутник еліпса тоді й тільки тоді, коли ця точка лежить усередині серединного трикутника. [6]:стоp.139
Серединний трикутник є єдиним вписаним трикутником, для якого жоден із трьох інших трикутників не має площу, меншу за площу цього трикутника. [7]:стоp. 137
Центр кола, вписаного в серединний трикутник даного трикутника , є центром маспериметра трикутника (центром Шпікера);[8]:стор.19 Тобто цей центр є центром мас однорідної дротяної фігури, що відповідає трикутнику .
Координати
Нехай , , - довжини сторін трикутника . Тоді трилінійні координати вершин серединного трикутника задаються формулами:
Антисерединний трикутник
Якщо — серединний трикутник для , то є антисерединним трикутником для .[9] Антисерединний трикутник для утворюється трьома прямими, паралельними сторонам — паралельно AB через точку C, паралельно AC через точку B і паралельно BC через точку A.
↑ абAltshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.
↑William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line. // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.
↑Chakerian G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
↑ Ricardo M. Torrejon, "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum, — 2005, — Вип. 5.
Coxeter H. S. M.; Greitzer S. L. §1.7 "The Medial Triangle and Euler Line." // Geometry Revisited. — Washington : Math. Assoc. Amer, 1967 (мова: англ.). — Vol. 19.