Серединний трикутник

Червоний трикутник — серединний трикутник для чорного трикутника. Вершини червоного трикутника є серединами сторін чорного трикутника.

Серединний трикутник[1] :стор.18 (додатковий трикутник) — трикутник , вершинами якого є середини сторін даного базового трикутника .

Сторони серединного трикутника є середніми лініями .

Є окремим випадком серединного багатокутника при кількости сторін багатокутника .

Властивості

M: центр описаного кола ABC, ортоцентр DEF
N: центр вписаного кола ABC, точка Нагеля DEF
S: центроїд ABC та DEF
  • Серединний трикутник є образом даного початкового трикутника при гомотетії з центром у центроїді та коефіцієнтом .
    Таким чином, серединний трикутник подібний до початкового і має той самий центроїд і ті самі медіани, що й початковий трикутник . Довжини сторін серединногоо трикутника вдвічі менші за довжини сторін початкового трикутника .[2]
  • Периметр серединного трикутника дорівнює півпериметру трикутника , а його площа дорівнює чверті площі трикутника . [3] :стор.177
  • Чотири трикутники, на які розділяється початковий трикутник сторонами його серединного трикутника , рівні за трьома сторонами, тому їхні площі рівні.
    Через це іноді «серединними» називають одразу всі чотири, рівні між собою, внутрішні трикутники, одержані з початкового трикутника проведенням у ньому трьох середніх ліній (у термінології серединним називають тільки один з них — центральний).
  • Ортоцентр серединного трикутника збігається з центром описаного кола даного трикутника , що доводить належність центра описаного кола, центроїда й ортоцентра одній прямій — прямій Ейлера.
  • Серединний трикутник є подерним трикутником центра описаного кола трикутника відносно трикутника .
  • Коло дев'яти точок трикутника є описаним для його серединного трикутника , а тому центр кола дев'яти точок є центром кола, описаного навколо серединного трикутника

. [2]

  • Точка Нагеля серединного трикутника є центром вписаного кола початкового трикутника . [4]:стоp.161,Теор.337
  • Серединний трикутник конгруентний до трикутника, вершинами якого є середини відрізків, що з'єднують ортоцентр і вершини початкового трикутника .[4]:стор.103,#206;стор.108,#1
  • Центр вписаного кола трикутника лежить всередині його серединного трикутника .[5]:стор.233, лемма 1

Точка всередині трикутника є центром вписаного у трикутник еліпса тоді й тільки тоді, коли ця точка лежить усередині серединного трикутника. [6]:стоp.139

  • Серединний трикутник є єдиним вписаним трикутником, для якого жоден із трьох інших трикутників не має площу, меншу за площу цього трикутника. [7]:стоp. 137
  • Центр кола, вписаного в серединний трикутник даного трикутника , є центром мас периметра трикутника (центром Шпікера);[8] :стор.19
    Тобто цей центр є центром мас однорідної дротяної фігури, що відповідає трикутнику .

Координати

Нехай , , - довжини сторін трикутника . Тоді трилінійні координати вершин серединного трикутника задаються формулами:

Антисерединний трикутник

Якщо — серединний трикутник для , то є антисерединним трикутником для .[9] Антисерединний трикутник для утворюється трьома прямими, паралельними сторонам — паралельно AB через точку C, паралельно AC через точку B і паралельно BC через точку A.

Трикутні координати вершин антисерединного трикутника задаються формулами:[9]

Примітки

  1. Coxeter H. S. M., 1967.
  2. а б Weisstein, Eric W. Medial triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  3. Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, 2012.
  4. а б Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.
  5. William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line. // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.
  6. Chakerian G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
  7. Ricardo M. Torrejon, "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum,  — 2005, — Вип. 5.
  8. Зетель С.И., 1962.
  9. а б Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

  • Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. {{{Заголовок}}}. — Prometheus Books, 2012 (мова: англ.).
  • Coxeter H. S. M.; Greitzer S. L. §1.7 "The Medial Triangle and Euler Line." // Geometry Revisited. — Washington : Math. Assoc. Amer, 1967 (мова: англ.). — Vol. 19.

Посилання

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!