Ромбозрізаний ікосододекаедр

Ромбозрізаний ікосододекаедр
Тип	архімедове тіло
Граней	62: 30 квадратів 20 шестикутників 12 десятикутників
Ребер	180
Вершин	120
Конфігурація вершин	4.6.10
Символ Витофа	2 3 5 |
Символ Шлефлі	tr{5,3}
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Ih (ікосаедрична)
Площа поверхні	${\displaystyle S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}}$
Двогранний кут (градуси)	6-10: 142,62° 4-10: 148,28° 4-6: 159,095°
Дуальний многогранник	гекзакісікосаедр
опуклий, ізогональний
Вершинна діаграма
Розгортка

Ромбозрізаний ікосододекаедр^[1] або зрізаний ікосододекаедр^[2][3] — напівправильний многогранник (архімедове тіло) з 62 гранями, складений із 30 квадратів, 20 правильних шестикутників і 12 правильних десятикутників.

У кожній з його 120 однакових вершин сходяться одна квадратна грань, одна шестикутна та одна десятикутна. Тілесний кут при вершині дорівнює рівно ${\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi .}$

Має 180 ребер рівної довжини. При 60 ребрах (між квадратною та шестикутною гранями) двогранні кути рівні ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },}$ при 60 ребрах (між квадратною та десятикутною гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx 148{,}28^{\circ },}$ при 60 ребрах (між шестикутною та десятикутною гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ }.}$

Споріднений многогранник, що не є напівправильним.

Назва «зрізаний ікосододекаедр», яку спочатку дав цьому многограннику Кеплер, здатна ввести в оману. Справа в тому, що в результаті операції зрізання, «зрізавши» з ікосододекаедра 30 чотирикутних пірамід, можна отримати лише дещо інший многогранник, чотирикутні грані якого — золоті прямокутники, а не квадрати. Отриманий многогранник напівправильним не є; втім, він ізоморфний справжньому ромбозрізаному ікосододекаедру і його можна перетворити на такий за допомогою невеликої деформації.

У координатах

Ромбозрізаний ікосододекаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб координати його вершин були всілякими циклічними перестановками наборів чисел

• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),}$
• ${\displaystyle (\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),}$
• ${\displaystyle (\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),}$
• ${\displaystyle (\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),}$

де ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — відношення золотого перетину.

Початок координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ буде при цьому центром симетрії многогранника, а також центром його описаної та напіввписаної сфер.

Метричні характеристики

Якщо ромбозрізаний ікосододекаедр має ребро довжини ${\displaystyle a}$, його площа поверхні та об'єм виражаються як

${\displaystyle S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 174{,}2920303a^{2},}$

${\displaystyle V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}8033989a^{3}.}$

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини многогранника) при цьому дорівнюватиме

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}8023945a;}$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер у їх серединах) —

${\displaystyle \rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7693771a.}$

Вписати в ромбозрізаний ікосододекаедр сферу так, щоб вона дотикалася до всіх граней, неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині ромбозрізаного ікосододекаедра з ребом ${\displaystyle a}$ (вона дотикатиметься лише до всіх десятикутних граней у їхніх центрах), дорівнює

${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}4409548a.}$

Відстані від центра многогранника до шестикутних і квадратних граней перевищують ${\displaystyle r_{10}}$ і рівні відповідно

${\displaystyle r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}6685425a,}$

${\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7360680a.}$

Визначні властивості

Серед усіх платонових тіл, архімедових тіл і тіл Джонсона із заданою довжиною ребра ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільший об'єм, найбільшу площу поверхні та найбільший діаметр.

Серед усіх платонових тіл, архімедових тіл і тіл Джонсона ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільшу кількість вершин і найбільшу кількість ребер (але не найбільшу кількість граней — тут перше місце займає кирпатий додекаедр).

Пов'язані многогранники

Сімейство однорідних ікосаедричних багатогранників

Симетрія: [5,3], (*532)							[5,3]^+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двоїсті до однорідних багатогранників
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Примітки

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 40.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
3. Люстерник, 1956, с. 184.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Ромбозрізаний ікосододекаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича^[ru], А. Я. Хинчина^[ru]. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы^[ru], 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы^[ru], 1956.