Резольвента інтегрального рівняння

Розглянемо інтегральне рівняння:

${\displaystyle f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)}$

Резольвентою інтегрального рівняння, або його розв'язним ядром називають таку функцію ${\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )}$ змінних ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$ і параметра ${\displaystyle \lambda }$, що розв'язок рівняння (*) подається у вигляді:

${\displaystyle u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.}$

При цьому ${\displaystyle \lambda }$ не повинна бути власним числом рівняння (*).

Приклад

Нехай рівняння (*) має ядро ${\displaystyle K(s,\;t)=s+t}$, тобто саме рівняння має вигляд:

${\displaystyle \varphi (s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).}$

Тоді його резольвентою є функція

${\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t-\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}-st-{\dfrac {1}{3}}\right)}{1-\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.}$

Резольвента лінійного оператора

Нехай ${\displaystyle A}$ — лінійний оператор. Тоді його резольвентою називають операторнозначну функцію^[1]

${\displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1}}$,

де ${\displaystyle E}$ — тотожний оператор, а ${\displaystyle z}$ — комплексне число, з резольвентної множини, тобто такої множини, що ${\displaystyle R(z)}$ є обмеженим оператором.

Це поняття використовується для розв'язування неоднорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Див. також

• Спектр оператора
• Резольвента алгебричного рівняння

Примітки

1. Операторнозначна функція — функція, значенням якої є оператор.

Джерела

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — Т. 1. — 335 с.(укр.)