У віці 16 років перейшов у футбольну школу «Труа»[1]. Там Поль добре зарекомендував себе і з 18 років став тренуватися з основною командою. 6 березня 2015 року дебютував у Лізі 2 у матчі проти «Клермона» (2:0)[2]. Незабаром після цього Поль продовжив контракт з командою до 2019 року.
На наступний рік «Труа» вийшли в Лігу 1, і 8 серпня 2015 року Поль дебютував у вищій лізі країни в матчі проти «Газелека Аяччо»[3].
31 січня 2016 року голкіпера орендував «Бордо»[4], за який до кінця року він зіграв в семи зустрічах, дебютувавши за нову команду 3 лютого в поєдинку проти «Ліона», в якому пропустив три м'ячі[5]. 1 липня 2016 року Бернардоні перейшов в «Бордо» на постійній основі. Контракт був укладений строком на п'ять років. Сума трансферу склала 2,5 млн євро. Проте новий головний тренер команди, Жослен Гурвеннек визначив новачка на роль третього воротаря[6], в результаті чого Поль не зіграв у сезоні 2016/17 жодного матчу за «Бордо».
Через це влітку 2017 року Поль був відданий в оренду на сезон в клуб Ліги 2 «Клермон»[7], а наступний сезон 2018/19 провів теж в оренді у клубі Ліги 1 «Нім-Олімпік»[8], відігравши за команду з Німа усі 38 матчів в національному чемпіонаті.