Подвійна дифузійна конвекція

Рисунок 1. Чисельне моделювання результатів Сінгха і Срінівасана^[1]. З рисунка видно, що характеристика пальця, ширина, є функцією чисел Релея.

Подвійна дифузійна конвекція — це явище в гідродинаміці, яке описує форму конвекції двома різними градієнтами густини, які мають різні коефіцієнти дифузії.^[2]

Конвекція в рідинах обумовлена змінами густини в них під впливом сили тяжіння. Ці зміни можуть бути викликані через градієнтний склад флюїду або через перепад температур (за рахунок теплового розширення). Тепловий та композиційний градієнти можуть часто дифузувати з плином часу, що знижує їх здатність керувати конвекцією, та вимагає, щоб градієнти в інших місцях потоку існували, щоб конвекція продовжувалась. Типовий приклад подвійної дифузійної конвекції описується в океанографії, де існують різні градієнти теплових і соляних концентрацій і дифузують з різними швидкостями. Даний ефект виникає при змішуванні холодної прісної води з айсберга з океанічною водою .

Подвійна дифузійна конвекція є важливою для розуміння змін ряд систем, в яких змінюється густина. Вона бере до уваги конвекцію у світовому океані, в магматичних коморах^[3] і на сонці.

Існують два різні види руху рідини, які класифікуються відповідно — в залежності від стійкого розшарування, густина впливає на компоненти з малим або великим коефіцієнтом дифузії. Якщо розшарування забезпечується компонентою з більш малим молекулярним коефіцієнтом дифузії, то воно називається "дифузійним". В іншому випадку він носить назву "соляні пальці".^[4] Це явище виникає, коли гаряча солона вода знаходиться вище холодної прісної води з більш високою густиною. Починається змішування гарячої солоної води з холодною прісною. Гаряча вода втрачає тепло швидше, ніж зменшується солоність, тому поширення тепла відбувається швидше, ніж солі. Через те, вода стає більш холодною, але ще є солоною, її густина збільшується, в порівнянні з водою під нею. Це призводить до прискорення змішування і до зниження росту соляних пальців. Якщо цей палець зростає, додаткова термодифузія прискорює цей ефект.

Роль соляних пальців в океанах

Подвійна дифузійна конвекція відіграє значну роль у підйомі поживних речовин з глибинних вод та у вертикальному переносі тепла і солі в океані. Соляні пальці сприяють вертикальному перемішуванню в океані. Таке змішування допомагає регулювати клімат на землі. Крім цього, пальці відповідають за підйом поживних речовин, які підтримують флору і фауну. Найбільш важливим аспектом конвекції пальців полягає в тому, що вони переносять потоки тепла і солі по вертикалі, які були широко вивчені протягом останніх п'яти десятиліть.^[5]

Визначальні рівняння

Рівняння збереження вертикального імпульсу, тепла і солоності мають наступний вигляд для подвійної дифузійної конвекції соляних пальців^[3]

${\displaystyle {\nabla }\cdot U=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial t}}+U\cdot \nabla U=\nu {\nabla }^{2}U-g(\beta \Delta S-\alpha \Delta T)\mathbf {k} }$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+U\cdot \Delta T=k_{T}{\nabla }^{2}T}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+U\cdot \Delta S=k_{s}{\nabla }^{2}s}$

Тут, U і W — компоненти вектора швидкості в горизонтальному (вісь х) і вертикальному (вісь Z) напрямку; k - це одиничний вектор у напрямку Z, к_T — молекулярна дифузія тепла, k_s — молекулярна дифузія солі, α — коефіцієнт теплового поширення при постійному тиску та солоності, β — коефіцієнт поширення солі при постійному тиску і температурі.

The above set of conservation equations governing the two-dimensional finger-convection system is non-dimensionalised using the following scaling: the depth of the total layer height H is chosen as the characteristic length, velocity (U, W), salinity (S), temperature (T) and time (t) are non-dimensionalised as T/t.

Вищевикладені рівняння збереження використовують наступні масштабування: глибина загальна висота шару H має вимірність довжини, швидкість (U, V), солевміст (S), температура (Т) і час (t) є безрозмірними. Проведемо заміну змінних ^[4]

${\displaystyle x={\frac {X}{H}},z={\frac {Z}{H}},u={\frac {U}{k_{T}/H}},w={\frac {W}{k_{T}/H}},S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}},T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}},t^{*}={\frac {t}{H^{2}/k_{T}}}.}$

де (Т_Т, S_T) І (Т_B, S_B) — температура і концентрація на верхньому і нижньому шарах відповідно. Підставивши ці змінні в рівняння, отримаємо:

${\displaystyle {\nabla }\cdot u=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t^{*}}}+u\cdot \nabla u=Pr{\nabla }^{2}u-\left[PrRa_{T}({\frac {S^{*}}{R_{\rho }}}-T^{*})\right]\mathbf {k} }$

${\displaystyle {\frac {\partial T^{*}}{\partial t^{*}}}+u\cdot \Delta T^{*}={\nabla }^{2}T^{*}}$

${\displaystyle {\frac {\partial S^{*}}{\partial t^{*}}}+u\cdot \Delta S^{*}={\frac {Pr}{Sc}}{\nabla }^{2}S^{*}}$

Тут R_ρ — коефіцієнт стабільності густини, Ra_Т —  теплове число Релея, Pr — число Прандтля, Sc — число Шмідта , які визначаються як

${\displaystyle R_{\rho }={\frac {\alpha \Delta T}{\beta \Delta S}},Ra_{T}={\frac {g\beta \Delta SH^{3}}{\nu k_{T}}},Pr={\frac {\nu }{\alpha }},Sc={\frac {\nu }{\beta }}.}$

На рис. 1(a-d) показана зміна соляних пальців в тепло-сольовій системі для різних чисел Релея при фіксованому Р_ρ. Можна помітити, що тонкі і товсті форми пальців залежать від різних Ra_Т. Коефіцієнт потоку пальців, темпи їх зростання, кінетична енергія, ширина пальця і т. д. знаходяться з функції яка залежать від чисел Релея та R_ρ. Тут, коефіцієнт потоку —ще один важливий безрозмірний параметр, співвідношення теплового і соляного потоків, який визначається як

${\displaystyle R_{f}={\frac {\alpha T'}{\beta S'}}.}$

Застосування

Подвійна дифузійна конвекція має важливе значення в природних процесах і технічних задачах. Ефект подвійної дифузійної конвекції не обмежується океанологією, але й також використовується в різних областях, таких як геологія,^[6]астрофізика, металургія.^[7]

Див. також

• Число Релея
• Число Прандтля

Посилання

1. Singh, O.P; Srinivasan, J. (2014). Effect of Rayleigh numbers on the evolution of double-diffusive salt fingers. Physics of Fluids. 26 (062104): 1—18. Bibcode:2014PhFl...26f2104S. doi:10.1063/1.4882264.
2. Mojtabi, A.; Charrier-Mojtabi, M.-C. (2000). 13. Double-Diffusive Convection in Porous Media. У Kambiz Vafai (ред.). Handbook of porous media. New York: Dekker. ISBN 978-0-8247-8886-5.
3. Schmitt, R.W. (1979). The growth rate of supercritical salt fingers. Deep-Sea Research. 26A: 23—40. Bibcode:1979DSRA...26...23S. doi:10.1016/0198-0149(79)90083-9.
4. Sreenivas, K.R.; Singh, O.P.; Srinivasan, J. (2009). On the relationship between finger width, velocity, and fluxes in thermohaline convection. Physics of Fluids. 21 (026601): 1—15. Bibcode:2009PhFl...21b6601S. doi:10.1063/1.3070527.
5. Oschilies, A.; Dietze, H.; Kahlerr, P. (2003). Salt-finger driven enhancement of upper ocean nutrient supply. Geophys. Res. Lett. 30: 2204—08. Bibcode:2003GeoRL..30.2204O. doi:10.1029/2003GL018552.
6. Singh, O.P; Ranjan, D.; Srinivasan, J. (September 2011). A Study of Basalt Fingers Using Experiments and Numerical Simulations in Double-diffusive Systems. Journal of Geography and Geology. 3 (1). doi:10.5539/jgg.v3n1p42.
7. Schmitt, R.W. (1983). The characteristics of salt fingers in a variety of fluid systems, including stellar interiors, liquid metals, oceans and [magmas. Physics of Fluids. 26 (9): 2373—2377. Bibcode:1983PhFl...26.2373S. doi:10.1063/1.864419.