Осциляції Зенера — Блоха

Осциляції Зенера — Блоха — коливання частинки, що рухається в періодичному потенціалі, під дією постійної сили. Прикладом системи, в якій можуть реалізуватися такі коливання, є кристалічне тверде тіло. В реальних кристалах створити умови для спостереження осциляцій Зенера-Блоха важко, однак вони спостерігалися в штучних системах — надґратках.

Кларенс Зенер розглянув такі коливання для електронів кристалу в зовнішньому електричному полі. Фелікс Блох узагальнив теорію на випадок будь-яких частинок та будь-яких сил.

Напівкласична теорія

Якщо знехтувати міжзонними переходами електронів в присутності зовнішнього електричного поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$, то зміна квазі-імпульсу електрона ${\displaystyle \mathbf {k} }$ визначається другим законом Ньютона:

${\displaystyle \hbar \;{\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {E} }$,

де ${\displaystyle \quad e}$ — елементарний електричний заряд. У відсутності зіткнень електрон проходить по всій зоні Брілюена, відбивається від її границі, знову пересікає зону, і знову відбивається на границі. Таким чином, незбурений рух електрона в зоні під дією постійного поля має характер осциляцій у ${\displaystyle \mathbf {k} }$- просторі, і, як наслідок, у звичайному просторі.

Нехай поле ${\displaystyle \mathbf {E} }$ направлене вздовж вектора оберненої ґратки ${\displaystyle \mathbf {K} }$, який визначає положення границі зони Брілюена, що відбиває електрони. За одну осциляцію електрон проходить відстань ${\displaystyle K}$. Якщо ${\displaystyle K={\frac {2\pi }{a}}}$, де ${\displaystyle a}$ — період елементарної комірки, то циклічна частота коливань дорівнює:

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}}$.

Оскільки ${\displaystyle a\approx \;3\mathrm {\AA} }$ , для поля ${\displaystyle 2\cdot 10^{5}}$ В/см² частота становить близько 10⁻¹³ Гц. Осциляції обмежені в просторі, а центр осциляцій знаходиться в певній комірці. В такій ситуації потенціал збурення ${\displaystyle e\mathbf {E} \mathbf {r} }$ видозмінює енергетичні рівні в зоні. І виникають стани, енергія яких відрізняється на величину ${\displaystyle eEa}$, виникає східцева зміна енергії вздовж країв зони. Рівні енергії створюють т. з. штарківську драбину, названу так, оскільки її виникнення нагадує ефект Штарка в атомній фізиці. Ясно, що амплітуда ${\displaystyle L_{z}}$, просторових осциляцій визначається шириною зони ${\displaystyle W_{b}}$:

${\displaystyle L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}}$

Оскільки на елементарну комірку приходиться один стан, то загальна кількість осциляцій залишається незмінною, проте інтервали між сусідніми рівнями енергії залишаються скінченними і однаковими.

Квантова теорія

Хвильова функція електрона в стані Зенера — Блоха, очевидно, відрізняється від плоскої хвилі, оскільки ${\displaystyle \mathbf {k} }$ вже не є хорошим квантовим числом. Розглядаючи прикладений потенціал, як збурення:

${\displaystyle {\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{z}}$,-

${\displaystyle \psi _{z}={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{k}(\mathbf {r} )}$,

де ${\displaystyle \psi _{k}(\mathbf {r} )}$ — зонні функції Блоха. Теорія збурень дає

${\displaystyle c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}}$

Матричний елемент зручніше всього обчислювати, враховуючи

${\displaystyle \mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\Delta _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )}$

Переходячи від сумування по ${\displaystyle \mathbf {k} }$ до інтегрування за допомогою співвідношення

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k} \mathbf {k} }$,

та інтегруючи частинами, використовуючи властивість ортогональності плоских хвиль:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}}$

звідки похідні

${\displaystyle {\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}}$,

а також

${\displaystyle c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d\mathbf {k} \right\rbrace }$

Для того, щоб періодичність хвильової функції зберігалась, функція ${\displaystyle c_{k}}$ повинна бути періодичною. Якщо покласти

${\displaystyle W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),}$

де ${\displaystyle W_{k}=W_{0}}$ — енергія центра зони, то із умови періодичності витікає рівність енергій

${\displaystyle W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),}$,

де ${\displaystyle n'}$ — ціле число, а ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — вектор елементарної комірки. Таким чином, стан, якому відповідає власне значення ${\displaystyle W_{z}}$, локалізований у просторі біля елементарної комірки, розташованої в точці ${\displaystyle n'\mathbf {a} }$, звідки покладаючи ${\displaystyle n'\mathbf {a} =\mathbf {r} }$

${\displaystyle c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac {iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace }$

Хвильові функції Блоха тут будуть

${\displaystyle \psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r} )\exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\right\rbrace .}$

Тепер можна використати просту модель, яка описує зону в напрямі поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$:

${\displaystyle W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka\,}$,

${\displaystyle -{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a}},}$,

де ${\displaystyle W_{b}}$- ширина зони. Далі припускаємо, що функція ${\displaystyle u_{k}(\mathbf {r} )}$ не залежить від ${\displaystyle \mathbf {k} }$. Тоді

${\displaystyle \psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \left\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =}$

${\displaystyle =c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),n=(x_{0}-x)/a,}$

де ${\displaystyle J_{n}(z)}$ — функція Бесселя, ${\displaystyle n}$ — ціле число, а поле направлене вздовж осі ${\displaystyle x}$. Біля точки ${\displaystyle x=x_{0}}$ функція ${\displaystyle J_{n}(z)}$ веде себе подібно до стоячої хвилі із хвильовим вектором величини ${\displaystyle \pi /2a}$, тобто довжина хвильового вектора рівна половині відстані від центру зони Брілюена до її границі. Коли ${\displaystyle |x_{0}-x|\gg \;a}$, асимптотичний розклад дає

${\displaystyle J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a}}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}-x|}}\right)^{|x_{0}-x|/a}}$

де ${\displaystyle L_{z}}$ — класична амплітуда просторових осциляцій, а ${\displaystyle e_{n}}$ — основа натуральних логарифмів. Ясно, що при ${\displaystyle |x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2}$ хвильова функція дуже швидко затухає. Вона зменшується і при ${\displaystyle |x_{0}-x|\to 0}$, досягаючи максимуму при ${\displaystyle |x_{0}-x|=L_{z}/2}$. Поведінка цієї хвильової функції якісно схожа на поведінку гармонічного осцилятора — вона зростає біля кінців відрізка, які відповідають класичним точкам повороту. Для того, щоб спостерігати це явище необхідно задовольнити умови

${\displaystyle \omega _{z}\tau >1,}$

де ${\displaystyle \tau }$ — час між зіткненнями. Як правило розрахунок часу ${\displaystyle \tau }$ проводять для станів, близьких до країв зони. Типові значення для ${\displaystyle \tau }$ близько ${\displaystyle 10^{-13}}$. Таким чином, електрон що здійснює коливання Зенера — Блоха, більшу частину часу перебуває біля країв зони, і тому розумно прийняти оцінку часу близько 10⁻¹³ c. Для цього необхідно створити поля більші за 2·10⁵ В/см. В багатьох випадках таке сильне поле може привести до пробою напівпровідника.

Література

• Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — М. : Мир, 1986. — 304 с.
• Zener C. -Proc.Roy.Soc. A, 1934,v.145,p.523.

Див. також

• Рівні Ландау
• Квантовий осцилятор
• Осциляції Блоха