Нільпотентна група

Нільпотентна група — в абстрактній алгебрі вид груп, що узагальнюють абелеві групи. Широко застосовується в теорії Галуа, теорії груп Лі і при класифікації скінченних груп.

Визначення

Група ${\displaystyle G}$ називається нільпотентною, якщо існує ряд нормальних підгруп ${\displaystyle \{e\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant G_{2}\ldots \leqslant G_{n}=G}$, такий що:

1. ${\displaystyle G_{i}\triangleleft G,\;i=0,\ldots ,n}$
2. Факторгрупи ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ є підгрупами центру ${\displaystyle Z(G/G_{i})}$ для ${\displaystyle i=0,1,2,\dots ,n-1}$.

Цей ряд називається центральним рядом групи ${\displaystyle G}$. Найменше ${\displaystyle n}$ для якого група ${\displaystyle G}$ є нільпотентна, називається степенем нільпотентності і позначається ${\displaystyle \operatorname {nil} \;G}$.

Властивості

• Довільна абелева група є нільпотентною.
• Скінченні нільпотентні групи вичерпуються прямими добутками p-груп.
• Скінченно породжені нільпотентні групи є поліциклічними групами, більше того, вони мають центральний ряд з циклічними факторами.

Див. також

• Залишково скінченна група

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)