Незалежність системи аксіом

Незалежність системи аксіом ― властивість системи аксіом даної аксіоматичної теорії, що полягає в тому, що кожна аксіома є незалежною, тобто не є логічним наслідком з множини інших аксіом цієї теорії. Систему аксіом, що має цю властивість, називають незалежною.

Опис

Незалежність тієї чи іншої аксіоми даної аксіоматичної теорії означає, що цю аксіому можна без суперечності замінити її запереченням. Іншими словами, аксіома незалежна в тому і тільки в тому випадку, якщо є інтерпретація, за якої ця аксіома помилкова, а всі інші аксіоми даної теорії істинні. Побудова такої інтерпретації є класичним методом доведення незалежності.

Під час побудови аксіоматичної теорії у вигляді формальної системи, де відношення логічного слідування формалізується у вигляді поняття вивідності, аксіома вважається незалежною, якщо її не можна вивести з інших аксіом за допомогою правил виведення даної формальної системи. Для широкого класу формальних систем (так званих теорій 1-го порядку) незалежність відносно вивідності збігається з незалежністю відносно логічного слідування.

Стосовно до формальних систем і взагалі обчислень є сенс говорити про незалежність правил виведення. Правило виведення називають незалежним, якщо існує теорема даного числення, яку не можна вивести без використання цього правила.

Незалежність системи аксіом сама по собі не є обов'язковою властивістю аксіоматичної теорії. Вона лише свідчить про те, що сукупність початкових положень теорії не є надлишковою, і надає деякі технічні зручності.

Однак дослідження, присвячені незалежності системи аксіом, і доведення незалежності сприяють кращому розумінню досліджуваної теорії. Досить згадати, який вплив на розвиток математики справило питання про незалежність п'ятого постулату Евкліда в системі аксіом геометрії.

Застосування у теоретичній фізиці

Від 2000-х років зрозуміло, що логічна незалежність є надзвичайно важливою в основах фізики.^[1][2]

Примітки

1. Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č. (2010), Logical independence and quantum randomness, New Journal of Physics, 12: 013019, arXiv:0811.4542, Bibcode:2010NJPh...12a3019P, doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019
2. Székely, Gergely (2013), The Existence of Superluminal Particles is Consistent with the Kinematics of Einstein's Special Theory of Relativity, Reports on Mathematical Physics, 72 (2): 133—152, arXiv:1202.5790, Bibcode:2013RpMP...72..133S, doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9