Хокейну кар'єру розпочав на батьківщині 2003 року виступами за команду «Лулео». Лінус досить вдало і успішно пройшов школу від молодіжного складу до основи.
Сезон 2010/11 Умарк розпочав у Північній Америці виступами за «Оклахома-Сіті Баронс» (фарм-клуб «Едмонтон Ойлерс»). Показав себе в складі «баронів», як надрезультативний гравець. Так 7 листопада 2010, він закинув п'ять шайб у ворота «Торонто Марліс», загальний рахунок матчу 7–6 на користь «баронів».[1]
8 грудня 2010, Лінус дебютував у складі «нафтовиків» у матчі проти Тампа-Бей Лайтнінг (4–3), в його активі результативна передача.[2] 16 грудня 2010, відзначився і першим голом у воротах Стіва Мейсона Колумбус Блю-Джекетс (6–3).[3]
У наступному сезоні Умарк провів невдало матчі за «нафтовиків» і був відправлений до «Оклахома-Сіті Баронс».
29 серпня 2012 швед підписав однорічний контракт з швейцарським клубом «Цуг». За підсумками регулярного чемпіонату став найкращим бомбардиром першості.
27 серпня 2013, після успішного сезону в Швейцарії, Умарк повернувся до «Ойлерс», підписавши однорічний контракт.[4]
19 грудня 2013, Лінуса придбав «Баффало Сейбрс», але провівши в складі «Сейбрс» лише тринадцять матчів попросив про розірвання контракту і решту сезону дограв у складі рідної команди «Лулео».[5]
У сезоні 2014/15 Лінус продовжує кар'єру виступами за фінський клуб КХЛ «Йокеріт», по завершенні сезону уклав дворічний контракт з іншим клубом КХЛ «Салават Юлаєв», де наразі і продовжує виступати. З 17 листопада 2016, капітан команди «Салават Юлаєв».[6] Двічі виступав у матчі всіх зірок КХЛ (2016, 2017).
З сезону 2020/21 Лінус послідовно по одному сезону захищає кольори спочатку швейцарського клубу «Женева-Серветт», а згодом рідного клубу «Лулео».
