Народився 26 листопада1988 року в місті Ліворно. Вихованець юнацьких команд футбольних клубів «Группо Спортіво» та «Армандо Піччі».
У дорослому футболі дебютував 2005 року виступами за команду клубу «Армандо Піччі», в якій провів три сезони у Серії D, взявши участь у 68 матчах чемпіонату. Згодом з 2008 року грав у складі нижчолігових італійських клубів «В'яреджо», «Павія», «Юве Стабія», «Казале» та «Віртус Ланчано».
Влітку 2012 року Леонардо підписав контракт із «Сассуоло». 28 серпня в матчі проти «Чезени» він дебютував у італійської Серії B[2]. У цьому ж поєдинку Паволетті забив свій перший гол за «Сассуоло». 9 вересня в матчі проти «Емполі» він зробив хет-трик[3]. За підсумками сезону Леонардо забив 11 м'ячів і допоміг клубу вийти в еліту. 25 серпня 2013 року в матчі проти «Торіно» він дебютував у італійській Серії A[4].
Через прихід в клуб більш сильних футболістів Леонардо втратив місце в основі і був відданий в оренду в «Варезе». 14 вересня в матчі проти «Пескари» він дебютував за нову команду[5]. У цьому ж поєдинку Паволетті зробив «дубль», забивши свої перші голи за «Варезе». Забивши за підсумками сезону 24 голи він став одним з кращих бомбардирів Серії B. Влітку 2014 року Леонардо повернувся у «Сассуоло». 13 грудня у матчі проти «Палермо» він забив свій перший гол на вищому рівні[6].
На початку 2015 року Паволетті на правах оренди перейшов у «Дженоа», незважаючи на те, що англійський«Лідс Юнайтед» був готовий викупити трансфер футболіста[7]. 9 лютого в матчі проти «Лаціо» він дебютував за нову команду, замінивши Мбая Ньянга[8]. 15 квітня в поєдинку проти «Палермо» Леонардо забив свій перший гол за Дженоа[9]. Після того, як він забив 6 м'ячів в 10 матчах, клуб викупив його трансфер у «Сассуоло» за 4 млн євро[10]. У своєму першому повноцінному сезоні Паволетті забив 14 м'ячів, ставши найкращим італійським бомбардиром Серії A. В 2016 році ним цікавилися «Мілан», «Інтернаціонале», «Лаціо» та «Фіорентина»[11][12].
На початку 2017 року Леонардо перейшов в «Наполі». Сума трансферу склала 18 млн євро[13][14]. 29 січня в матчі проти «Палермо» він дебютував за нову команду, замінивши у другому таймі Жоржиньйо[15].
Влітку 2017 року Леонардо перейшов в «Кальярі» на правах оренди з правом обов'язкового викупу[16]. 10 вересня в матчі проти «Кротоне» він дебютував за нову команду[17]. 15 жовтня в поєдинку проти свого колишнього клубу «Дженоа» Паволетті забив свій перший гол за «Кальярі»[18]. Станом на 28 травня 2018 року відіграв за головну команду Сардинії 34 матчі в національному чемпіонаті.
↑Архівована копія. Архів оригіналу за 4 вересня 2018. Процитовано 3 вересня 2018.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
