Зрізаний вузол

Зрізаний вузол — це тип математичного вузла. В теорії вузлів «вузол» означає вкладене в 3-сферу коло

${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}}$,

а 3-сферу можна розглядати як межу чотиривимірної кулі

${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.}$

Вузол ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ є зрізаним, якщо він є межею належним чином вкладеного диска D в 4-вимірну кулю^[1].

Що означає «належним чином вкладеного», залежить від контексту і розуміється по різному для різних типів зрізаних вузлів. Якщо D є гладким вкладенням в B^4, то кажуть, що K є гладко зрізаним вузлом. Якщо K є лише локально плоским^[en] (що слабше), то кажуть, що K є топологічно зрізаним вузлом.

Будь-який стрічковий вузол є гладким зрізаним вузлом. Старе питання Фокса^[en] полягає в тому, чи є будь-який гладкий вузол стрічковим^[2].

Сигнатура зрізаного вузла дорівнює нулю^[3].

Многочлен Александера зрізаного вузла розпадається на множники ${\displaystyle f(t)f(t^{-1})}$, де ${\displaystyle f(t)}$ — деякий многочлен Лорана з цілими коефіцієнтами^[3]. Це відомо як умова Фокса-Мілнора^[4].

Нижче наведено список всіх зрізаних вузлів з 10 і менше перетинами. Список складено за Атласом вузлів [Архівовано 11 серпня 2020 у Wayback Machine.]: 6₁, ${\displaystyle 8_{8}}$, ${\displaystyle 8_{9}}$, ${\displaystyle 8_{20}}$, ${\displaystyle 9_{27}}$, ${\displaystyle 9_{41}}$, ${\displaystyle 9_{46}}$, ${\displaystyle 10_{3}}$, ${\displaystyle 10_{22}}$, ${\displaystyle 10_{35}}$, ${\displaystyle 10_{42}}$, ${\displaystyle 10_{48}}$, ${\displaystyle 10_{75}}$, ${\displaystyle 10_{87}}$, ${\displaystyle 10_{99}}$, ${\displaystyle 10_{123}}$, ${\displaystyle 10_{129}}$, ${\displaystyle 10_{137}}$, ${\displaystyle 10_{140}}$, ${\displaystyle 10_{153}}$ і ${\displaystyle 10_{155}}$.

Див. також

• Рід зрізу^[en]
• Ліза Піччирілло

Примітки

1. Lickorish, 1997, с. 86.
2. Gompf, Scharlemann, Thompson, 2010, с. 2305—2347.
3. Lickorish, 1997, с. 90 [Архівовано 15 вересня 2020 у Wayback Machine.].
4. Banagl, Vogel, 2010, с. 61.

Література

• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вип. 4 (14 грудня). — DOI:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Markus Banagl, Denis Vogel. The Mathematics of Knots: Theory and Application. — Springer, 2010. — Т. 1. — (Contributions in Mathematical and Computational Sciences) — ISBN 9783642156373.
• W. B. Raymond Lickorish. An Introduction to Knot Theory. — Springer, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 9780387982540.