Група Гейзенберга

У математиці група Гейзенберга ${\displaystyle H}$ (названа на честь Вернера Гейзенберга) — група верхньотрикутних матриць розмірності ${\displaystyle 3\times 3}$ вигляду

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{matrix}}\right),}$

де операція множення визначена як множення матриць. Елементи ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ належать довільному комутативному кільцю з одиницею, в якості якого часто обирають кільце дійсних чисел (в результаті отримують неперервну групу Гейзенберга) або ж кільце цілих чисел (в результаті отримують дискретну групу Гейзенберга).

Неперервна група Гейзенберга з'являється в описі одновимірних систем квантової механіки, особливо в контексті теореми Стоуна–фон Неймана^[en]. У загальному випадку групи Гейзенберга можна розглядати у зв'язку з ${\displaystyle n}$-вимірними системами або ж із довільними симплектичними векторними полями.

Тривимірний випадок

У тривимірному випадку добуток двох матриць Гейзенберга визначається як

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\end{matrix}}\right).}$

Як можна побачити з члена ${\displaystyle ab'}$, ця група неабелева^[en].

Нейтральним елементом (одиницею) групи Гейзенберга є одинична матриця, а обернений визначається наступним чином:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\end{matrix}}\right).}$

Ця група є підгрупою 2-вимірної афінної групи ${\displaystyle {\rm {Aff}}(2)}$:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{matrix}}\right),}$

дія якої на вектор ${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$ відповідає афінному перетворенню

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a\\0&1\end{matrix}}\right){\vec {x}}+\left({\begin{matrix}c\\b\end{matrix}}\right).}$

Є кілька яскравих прикладів тривимірного випадку.

Неперервна група Гейзенберга

Якщо ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — дійсні числа (в кільці ${\displaystyle \mathbb {R} }$), то маємо неперервну групу Гейзенберга ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$. Це нільпотентна дійсна група Лі розмірності 3.

Додатково до представлення дійсними ${\displaystyle 3\times 3}$ матрицями, неперервна група Гейзенберга має також декілька різних представлень у термінах функціональних просторів. Згідно з теоремою Стоуна–фон Неймана^[en], існує єдине, з точністю до ізоморфізму, незвідне унітарне представлення групи ${\displaystyle H}$, у якому його центр діє за допомогою заданого нетривіального характеру. Це представлення має декілька важливих застосувань чи моделей. Так, у моделі Шрьодінгера, група Гейзенберга діє на просторі квадратично інтегровних^[en] функцій. У тета-представленні^[en] вона діє на просторі голоморфних функцій верхньої півплощини; воно назване так на честь зв'язку з тета-функціями.

Дискретна група Гейзенберга

Частина графу Келі дискретної групи Гейзенберга, із генераторами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ як у тексті. (Кольори використані лише для наочності.)

Якщо ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — цілі числа (в кільці ${\displaystyle \mathbb {Z} }$), то маємо дискретну групу Гейзенберга ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$. Це неабелева^[en] нільпотентна група з двома генераторами

${\displaystyle x=\left({\begin{matrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)}$

і

${\displaystyle y=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right),}$

і зі співвідношеннями

${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1},\quad xz=zx,\quad yz=zy,}$

де

${\displaystyle z=\left({\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)}$

є генератором центра групи ${\displaystyle H_{3}}$. (Відмітимо, що обернені до матриць ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ і ${\displaystyle z}$ утворюються заміною ${\displaystyle 1}$ над діагоналлю на ${\displaystyle -1}$).

Згідно з теоремою Громова (в англомовній літературі — теорема Басса), у цієї групи поліноміальна швидкість зростання порядку 4. Можна генерувати будь-які елементи наступним чином:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{matrix}}\right)=y^{b}z^{c}x^{a}.}$

Група Гейзенберга за модулем непарного простого числа ${\displaystyle p}$

Якщо ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ з ${\displaystyle Z/pZ}$ для довільного непарного простого ${\displaystyle p}$, то отримаємо групу Гейзенберга за модулем ${\displaystyle p}$. Це група порядку ${\displaystyle p^{3}}$ із генераторами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ та співвідношеннями:

${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1},\quad x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\quad xz=zx,\quad yz=zy.}$

Аналоги групи Гейзенберга над скінченними полями простого непарного порядку ${\displaystyle p}$ називаються додатковою спеціальною групою^[en] або ж, більш точно, додатковою спеціальною групою степеня ${\displaystyle p}$. Узагальнюючи, якщо похідна підгрупа групи ${\displaystyle G}$ міститься в центрі ${\displaystyle Z}$ групи ${\displaystyle G}$, тоді відображення ${\displaystyle G/ZG/Z\rightarrow Z}$ є кососиметричним білінійним оператором на абелівських групах.

Однак, умова, щоб ${\displaystyle G/Z}$ була скінченним векторним простором, вимагає, аби підгрупа Фраттіні групи ${\displaystyle {G}}$ належала центру групи. А також умова, аби ${\displaystyle Z}$ був одновимірним векторним простором над ${\displaystyle Z/pZ}$ вимагає, щоб порядок центра ${\displaystyle Z}$ дорівнював ${\displaystyle p}$. Звідки випливає, що якщо група ${\displaystyle G}$ неабелева, то ${\displaystyle G}$ — додаткова спеціальна група. Якщо ж група ${\displaystyle G}$ — додаткова спеціальна група, але не степеня ${\displaystyle p}$, тоді загальна конструкція при застосуванні до симплектичного векторного простору ${\displaystyle G/Z}$ не визначає груповий ізоморфізм у ${\displaystyle G}$.

Група Гейзенберга за модулем 2

Група Гейзенберга за модулем 2 має порядок 8 й ізоморфна діедральній групі ${\displaystyle D_{4}}$ (група симетрій квадрата). Якщо

${\displaystyle x=\left({\begin{matrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)}$

і

${\displaystyle y=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right),}$

тоді

${\displaystyle xy=\left({\begin{matrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right)}$

і

${\displaystyle yx=\left({\begin{matrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right).}$

Елементи ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ відповідають віддзеркаленням (з кутом між ними, що дорівнює ${\displaystyle 45^{\circ }}$), у той час, як ${\displaystyle xy}$ та ${\displaystyle yx}$ відповідають поворотам на ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Інші віддзеркалення — це ${\displaystyle xyx}$ і ${\displaystyle yxy}$, а поворот на ${\displaystyle 180^{\circ }}$ можна представити як ${\displaystyle xyxy}$ ${\displaystyle (=yxyx)}$.

Див. також

• Канонічне комутаційне співвідношення
• Перетворення Вігнера-Фейля^[en]
• Теорема Стоуна-фон Неймана^[en]
• Проективне представлення^[en]

Література

• Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). Geometry of Heisenberg Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Т. 222 (вид. second). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Howe, Roger (1980). On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis. Bulletin of the American Mathematical Society. 3 (2): 821—843. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14825-9. MR 0578375.
• Kirillov, Alexandre A. (2004). Ch. 2: "Representations and Orbits of the Heisenberg Group. Lectures on the Orbit Method. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3530-0.
• Mackey, George (1976). The theory of Unitary Group Representations. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0226500522.

Зовнішні посилання

• Groupprops, The Group Properties Wiki Unitriangular matrix group UT(3,p)