Вагова функція

Вагова функція — спеціальна математична конструкція, яка використовується при підсумовуванні, інтегруванні чи усередненні, щоб надати більшої «ваги» певним елементам в кінцевому результаті порівняно з іншими елементами^[1]. Потреба у введені таких функцій часто виникає в статистиці та математичному аналізі. Поняття вагової функції тісно пов'язане з теорією міри. Вагові функції можуть використовуватись як із дискретними, так і з неперервними величинами.

Дискретний випадок

Дискретна вагова функція ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+}}$ — невід'ємна функція, визначена на дискретній множині значень ${\displaystyle A}$, яка зазвичай скінченна або зліченна. Одинична вагова функція ${\displaystyle w(a):=1}$ відповідає звичайному, незваженому випадку, коли всі елементи мають однакову вагу.

Нехай задано деякий набір дійсних значень, які занумеровані елементами множини ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \{f(a),a\in A\}.}$

Тоді звичайна незважена сума елементів ${\displaystyle f(a)}$ по множині ${\displaystyle A}$ визначається як

${\displaystyle S=\sum _{a\in A}f(a).}$

У зваженій сумі з вагою ${\displaystyle w}$, ми кожному елементу ${\displaystyle f(a)}$ надаємо відповідну вагу ${\displaystyle w(a)}$, домножуючи його на значення ваги, і тоді зважена сума визначається таким чином:

${\displaystyle S_{w}=\sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

Незваженим середнім значенням по скінченній множині ${\displaystyle A}$ називається сума вигляду

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$,

де ${\displaystyle |A|}$ — потужність множини ${\displaystyle A}$, тобто кількість її елементів.

У зваженому середньому потужність ${\displaystyle |A|}$ замінюють на зважену потужність, суму ваг всіх елементів

${\displaystyle \sum _{a\in A}w(a).}$

Зважене середнє арифметичне у такому випадку визначається як

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

Застосування

Термін вагова функція виник з механіки: при обчисленні цента мас системи з ${\displaystyle n}$ точкових тіл з масами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$, центри мас яких розміщенні в точках з координатами ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$ центр мас системи буде розміщений в точці з координатами

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$,

яку можна інтерпретувати як середнє зважене координат ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$.

Найпоширеніші області застосування зважених сум — чисельне інтегрування та цифрова фільтрація сигналів.

Зважені суми використовуються у задачах багатокритеріальної оптимізації для переходу від декількох часткових критеріїв оптимальності до єдиного інтегрального критерію, який часто є зваженою сумою часткових критеріїв^[2].

Також широко застосовуються у економіко-математичних методах аналізу даних та задачах машинного навчання.

Зважене середнє часто використовується у статистиці для компенсації похибок в оцінках. Нехай, для істинного значення ${\displaystyle f}$, отримано незалежно один від одного декілька значень ${\displaystyle f_{i}}$ з дисперсіями ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, тоді найкраще наближення істинного значення отримуємо як середнє зважене часткових результатів з вагами ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}$: дисперсія так отриманого наближення буде меншою за кожну з часткових дисперсій ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i}}$. Також застосовується в методі максимальної правдоподібності.

Неперервний випадок

У випадку неперервних величин, вагова функція — міра ${\displaystyle w(x)dx}$ задана в деякій області ${\displaystyle \Omega }$. Міру, в певному сенсі, можна вважати узагальненням поняття вагової функції.

У випадку якщо ${\displaystyle \Omega }$ є підмножиною евклідового простору ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, то під ${\displaystyle dx}$ розуміють міру Лебега на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, а ${\displaystyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ — невід'ємна функція. В даному контексті вагова функція ${\displaystyle w(x)}$ часто розуміється як густина.

Нехай ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — дійснозначна функція, то окрім незваженого інтеграла

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

можна розглядати зважений інтеграл

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx.}$

Оскільки за означенням інтеграл

${\displaystyle \mathrm {vol} (E):=\int _{E}1\ dx,\quad E\subset \Omega ,}$

виступає як об'єм множини ${\displaystyle E}$, то можна ввести поняття зваженого об'єму

${\displaystyle \mathrm {vol} _{w}(E):=\int _{E}w(x)\ dx}$

та, відповідно, зваженого середнього значення функції ${\displaystyle f}$ по множині ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle {\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}={\frac {1}{\mathrm {vol} _{w}(E)}}\int _{\Omega }f(x)w(x)dx.}$

Введення вагової функції дозволяє узагальнити поняття інтеграла, як границі відповідної зваженої суми. Такі узагальнення інтеграла часто використовують у статистиці, теорії випадкових процесів, теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

У випадку, коли міра є дискретною, ми отримуємо попередній дискретний випадок — всі інтеграли замінюються підсумовуванням.

Скалярний добуток

Нехай ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ та ${\displaystyle g:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — дві задані функції. Тоді крім звичайного скалярного добутку

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

можна розглядати зважений скалярний добуток^[3]

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx.}$

Прикладами зважених ортогональних функцій (у просторі ${\displaystyle L^{2}}$) є ортогональні поліноми і пов'язані з ними функції, а також ряд інших спеціальних функцій.

Див. також

• Центр мас
• Ортогональність
• Середнє зважене
• Ядро (статистика)
• Теорія міри
• Інтеграл Стілтьєса

Примітки

1. Архівована копія. Архів оригіналу за 28 березня 2020. Процитовано 28 березня 2020.
2. Архівована копія. Архів оригіналу за 28 березня 2020. Процитовано 28 березня 2020.
3. Бейтмен, 1974, с. 156.

Література

• Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. — М. : Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 662.

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.

Посилання

• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weight [Архівовано 28 березня 2020 у Wayback Machine.]