Безмежно подільний розподіл

Безмежно подільний розподіл у теорії імовірностей це розподіл випадкової величини, такої, що вона може бути представлена у виді довільної скінченої кількості незалежних однаково розподілених доданків.

Означення

Випадкова величина ${\displaystyle Y}$ називається безмежно подільною, якщо для будь-якого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ вона може бути представлена у виді

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}}$,

де ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}}$ - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

Властивості безмежно подільних розподілів

• Характеристична функція ${\displaystyle \phi _{Y}(t)}$ безмежно подільної випадкової величини ${\displaystyle Y}$ має вид:

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}^{(n)}}^{n}(t)}$.

Канонічні представлення безмежно подільних розподілів

Формула Колмогорова

Нехай ${\displaystyle \phi (t)}$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, який має скінченну дисперсію. Тоді існує неспадна функція ${\displaystyle K:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, така що ${\displaystyle \lim \limits _{u\to -\infty }K(u)=0}$, і

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itu}-1-iut}{u^{2}}}\,dK(u)}$,

де інтеграл розуміється в смислі Лебега - Стилтьеса.

Формула Леві - Хінчина

Нехай ${\displaystyle \phi (t)}$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тоді існує неспадна функція обмеженої варіації ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, така що

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)}$

Приклади

• Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.

• Нехай задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)}$, де

${\displaystyle m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$

для деякого ${\displaystyle \lambda >0}$. Тоді випадкова величина ${\displaystyle X:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$, що має вид

${\displaystyle X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N} }$

не є безмежно подільною.

Безмежно подільний розподіл на локально компактних абелевих групах

Розподіл ${\displaystyle \mu }$ на локально компактній абелевій групі ${\displaystyle X}$ називається безмежно подільним, якщо для кожного натурального ${\displaystyle n}$ існує елемент ${\displaystyle x_{n}\in X}$ і розподіл ${\displaystyle \mu _{n}}$ на ${\displaystyle X}$ такий, що ${\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}$, де ${\displaystyle E_{x_{n}}}$ --- вироджений розподіл, зосереджений в ${\displaystyle x_{n}}$ (див. ^[1], ^[2]).

Прикладами безмежно подільних розподілів на локально компактних абелевих групах є вироджені розподіли, зсуви розподілів Хаара компактних підгруп, узагальнені розподіли Пуассона.

Джерела інформації

1. К. Р. Партасарати, Р. Ранга Рао, С. Р. С. Варадхан, «Распределения вероятностей на локально компактных абелевых группах», Математика, 9:2 (1965), (Parthasarathy, K. R.; Rao, R. R.; Varadhan, S. R. S. [Архівовано 26 серпня 2020 у Wayback Machine.] Probability distributions on locally compact Abelian groups. Ill. J. Math. 7, 337—369 (1963) [Архівовано 26 серпня 2020 у Wayback Machine.])
2. Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Probab. Math. Statist. — 3. - New York — London: Academic Press, 1967.