Атлас (математика)

Атлас — поняття диференціальної геометрії, що дозволяють ввести гладку структуру на многовиді .

Визначення

Нехай ${\displaystyle K}$ — числове поле (наприклад ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$), ${\displaystyle X}$ — топологічний простір.

• Карта — це пара ${\displaystyle (U,f)}$, де

${\displaystyle U}$ — відкрита множина в ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f}$ — гомеоморфізм з ${\displaystyle U}$ у відкриту множину в ${\displaystyle K^{n}}$

• Якщо області визначення двох карт ${\displaystyle \,(U_{1},f_{1})}$ і ${\displaystyle \,(U_{2},f_{2})}$ перетинаються (${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$), то між множинами ${\displaystyle f_{1}^{-1}(U_{2})}$ і ${\displaystyle f_{2}^{-1}(U_{1})}$ є взаємно обернені відображення (гомоморфізми), що називаються відображеннями склеюваннями :

  ${\displaystyle {\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}}$

• Атлас — це множина узгоджених карт ${\displaystyle \,\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}}$, ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, така, що ${\displaystyle \,\{U_{\alpha }\}}$ утворює покриття простору ${\displaystyle X}$. Тут ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — деяка множина індексів. При цьому атлас називається гладким (класу ${\displaystyle \,C^{k}}$) або аналітичним, якщо функції заміни координат ${\displaystyle \,f_{\alpha _{1}\,\alpha _{2}}}$ для всіх карт гладкі (класу ${\displaystyle \,C^{k}}$) або аналітичні.

• Два гладкі (аналітичні) атласи називаються узгодженими, якщо їх об'єднання також є гладким (аналітичним) атласом.

Література

• Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.