PROFILBARU.COM

У теорії рішень алгоритм шансів (або алгоритм Брюсса) — це математичний метод обчислення оптимальних стратегій для класу задач, які належать до області задач оптимальної зупинки. Їх розв'язок випливає зі стратегії шансів, а важливість стратегії шансів полягає в її оптимальності, як пояснюється нижче.

Алгоритм шансів застосовується до класу задач, які називаються задачами останнього успіху. Формально метою цих задач є максимізація ймовірності ідентифікації в послідовності незалежних подій саме останньої події, яка задовольняє певному критерію («специфічна подія»). Ця ідентифікація повинна бути зроблена в момент спостереження. Повернення до попередніх спостережень не дозволяється. Зазвичай особлива подія визначається особою, яка приймає рішення, як подія, що становить справжній інтерес з погляду «зупинки» для здійснення чітко визначеної дії. Такі задачи виникають у кількох ситуаціях.

Приклади

Дві різні ситуації є прикладами зацікавленості в максимізації ймовірності зупинитися на останній події.

Припустимо, що автомобіль виставлено на продаж тому, хто запропонує найвищу ціну (найкращу «пропозицію»). Нехай $n$ потенційних покупців відгукнулися і попросили показати їм машину. Кожен з них наполягає на негайному рішенні продавця прийняти пропозицію чи ні. Визначимо пропозицію як цікаву і закодуємо її 1, якщо вона краща за всі попередні пропозиції, і 0 в іншому випадку. Пропозиції формують випадкову послідовність^[en] з 0 та 1. Тільки 1 цікавлять продавця, який може побоюватися, що кожна наступна 1 може стати останньою. З визначення випливає, що остання 1 є найвищою ставкою. Отже, максимізація ймовірності продажу за останньою одиницею означає максимізацію ймовірності продажу за найкращою ціною.
Лікар, застосовуючи спеціальне лікування, може використовувати код 1 для успішного лікування, 0 — у протилежному випадку. Лікар лікує послідовність з $n$ пацієнтів однаковим чином і хоче мінімізувати будь-які страждання, а також вилікувати кожного пацієнта, який реагує на лікування. Зупинившись на останній 1 у такій випадковій послідовності 0 і 1, він досягне цієї мети. Оскільки лікар не пророк, його мета — максимізувати ймовірність зупинки на останній 1 (див. Милосердне застосування^[en]).

Визначення

Розглянемо послідовність $n$ незалежних подій. Пов'яжемо із цією послідовністю іншу послідовність незалежних подій $I_{1},I_{2},\dots ,I_{n}$ зі значеннями 1 або 0. Тут $I_{k}=1$ , що називається успіхом, означає подію, що $k$ -те спостереження є цікавим (як визначено особою, яка приймає рішення), і $I_{k}=0$ для нецікавих. Ці випадкові величини $I_{1},I_{2},\dots ,I_{n}$ спостерігаються послідовно, і мета полягає в тому, щоб правильно вибрати останній успіх, коли він спостерігається.

Нехай $p_{k}=P(I_{k}=1)$ ймовірність того, що k-та подія є цікавою. Далі нехай $q_{k}=1-p_{k}$ і $r_{k}=p_{k}/q_{k}$ . Зауважимо, що $r_{k}$ представляє шанси^[en] на те, що $k$ -та подія виявиться цікавою, пояснюючи назву алгоритму шансів.

Алгоритмічна процедура

Алгоритм шансів підсумовує шанси у зворотному порядку

r_{n}+r_{n-1}+r_{n-2}\,+\cdots

,

доки ця сума вперше не досягне або не перевищить значення 1. Якщо це відбувається з індексом s, зберігається s і відповідна сума

R_{s}=\,r_{n}+r_{n-1}+r_{n-2}+\cdots +r_{s}

.

Якщо сума шансів не досягає 1, встановлюється s = 1. Водночас він обчислює

Q_{s}=q_{n}q_{n-1}\cdots q_{s}

.

Вихід є

$\,s$ , поріг зупинки
$\,w=Q_{s}R_{s}$ , ймовірність виграшу.

Стратегія шансів

Стратегія шансів — це правило спостереження за подіями одна за одною та зупинка на першій цікавій події від індексу s (якщо є), де s — поріг зупинки результату a.

Важливість стратегії шансів, а отже й алгоритму шансів, полягає в наступній теоремі шансів.

Теорема шансів

Теорема шансів стверджує, що

Стратегія шансів є оптимальною, тобто вона максимізує ймовірність зупинки на останній 1.
Імовірність виграшу стратегії шансів дорівнює $w=Q_{s}R_{s}$
Якщо $R_{s}\geqslant 1$ , ймовірність виграшу $w$ завжди принаймні $1/ e = 0,367879...$ . і ця нижня межа є найкращою з можливих.

Особливості

Алгоритм шансів обчислює оптимальну стратегію та оптимальну ймовірність виграшу одночасно. Крім того, кількість операцій алгоритму шансів є (суб)лінійною по n. Отже, не може існувати швидшого алгоритму для всіх послідовностей, так що алгоритм шансів водночас є оптимальним як алгоритм.

Джерела

Алгоритм шансів розробив Брюсс, 2000 року, який і придумав його назву. Він також відомий як алгоритм (стратегія) Брюсса. Реалізації з відкритим кодом можна знайти в Інтернеті.

Застосування

Застосування алгоритму шансів охоплюють медичні питання в клінічних випробуваннях, проблеми з продажем, задачі пошуку співробітника, вибір портфоліо, (односторонні) стратегії пошуку, проблеми траєкторії та проблеми паркування^[en] до проблем онлайн-обслуговування тощо.

Також існує теорема шансів для безперервних процесів надходження з незалежними приростами^[en], таких як процес Пуассона (Брюсс, 2000). У деяких випадках шанси не обов'язково відомі заздалегідь (як у прикладі 2 вище), тому застосування алгоритму шансів безпосередньо неможливо. У цьому випадку кожен крок може використовувати послідовні оцінки шансів. Це має сенс, якщо кількість невідомих параметрів невелика порівняно з кількістю спостережень n. Питання оптимальності тоді є складнішим, однак, і вимагає додаткових досліджень. Узагальнення алгоритму шансів дозволяють отримати різну винагороду за невдалу і помилкову зупинку, а також замінити припущення про незалежність на слабші (Фергюсон, 2008).

Варіації

Брюсс та Пейндавейн, 2000 обговорювали проблему вибору останніх $k$ успіхів.

Тамакі, 2010 довів теорему про мультиплікативні шанси, яка розглядає проблему зупинки на будь-якому з останніх $\ell$ успіхів.

Жорстка нижня межа ймовірності виграшу отримана за формулою Мацуї та Ано, 2014.

Мацуї та Ано, 2017 обговорили проблему вибору $k$ з останніх $\ell$ і отримали жорстку нижню межу ймовірності виграшу. Коли $\ell =k=1,$ задача еквівалентна задачі Брюсса про шанси. Якщо $\ell =k\geq 1,$ задача еквівалентна задачі в Брюсс та Пейндавейн, 2000. Задача, що розглядається в Тамакі, 2010 отримується за умови, що $\ell \geq k=1.$

Проблема множинного вибору

Гравцеві дозволено $r$ виборів, і він виграє, якщо будь-який вибір є останнім успішним. Для класичної проблеми секретаря Гілберт та Мостеллер, 1966 обговорили випадки $r=2,3,4$ . Проблема шансів з $r=2,3$ обговорюється Ано, Какінума та Мійоші, 2010. Додаткові випадки проблеми шансів див. у Мацуї та Ано, 2016.

Оптимальна стратегія для цієї задачі належить до класу стратегій, визначених набором порогових чисел $(a_{1},a_{2},...,a_{r})$ , де $a_{1}>a_{2}>\cdots >a_{r}$ .

Зокрема, уявіть, що у вас є $r$ листів-зобов'язань, позначених від $1$ до $r$ . У вас буде $r$ працівників, кожен з яких тримає одну літеру. Ви продовжуєте проводити співбесіди з кандидатами й заносите їх у таблицю, яку бачить кожен з них. Зараз працівник $i$ надсилає лист-відповідь про прийняття на роботу першому кандидату, який виявився кращим за всіх інших кандидатів $1$ до $a_{i}$ . (Невідправлені листи про прийняття за замовчуванням віддаються останнім заявникам, так само як і у стандартній задачі про секретаря).

Коли $r=2$ , Ано, Какінума та Мійоші, 2010 показали, що нижня межа ймовірності виграшу дорівнює $e^{-1}+e^{-{\frac {3}{2}}}.$ Для загального натурального числа $r$ , Мацуї та Ано, 2016 довели, що нижня межа ймовірності виграшу є ймовірністю виграшу у варіанті задачі секретаря, де потрібно вибрати k кращих кандидатів, використовуючи лише k спроб.

Коли $r=3,4,5$ , нижні межі ймовірностей виграшу дорівнюють $e^{-1}+e^{-{\frac {3}{2}}}+e^{-{\frac {47}{24}}}$ , $e^{-1}+e^{-{\frac {3}{2}}}+e^{-{\frac {47}{24}}}+e^{-{\frac {2761}{1152}}}$ і $e^{-1}+e^{-{\frac {3}{2}}}+e^{-{\frac {47}{24}}}+e^{-{\frac {2761}{1152}}}+e^{-{\frac {4162637}{1474560}}},$ відповідно.