Алгебра над кільцем — алгебрична структура з операціями додавання
+
{\displaystyle +}
множення
× × -->
{\displaystyle \times }
множення на скаляр
⋅ ⋅ -->
{\displaystyle \cdot }
R — комутативне кільце , тоді R -алгеброюалгеброю над кільцем R ) є R -модулькільцем в якому R -білінійне
Формально
(
A
,
+
,
× × -->
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle \ (A,+,\times ,\cdot )}
R -алгеброю, якщо:
(
A
,
+
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle \ (A,+,\cdot )}
R -модулем
(
A
,
+
,
× × -->
)
{\displaystyle \ (A,+,\times )}
кільцем (в деяких авторів асоціативність не вимагається);
r
⋅ ⋅ -->
(
x
× × -->
y
)
=
(
r
⋅ ⋅ -->
x
)
× × -->
y
=
x
× × -->
(
r
⋅ ⋅ -->
y
)
∀ ∀ -->
r
∈ ∈ -->
R
;
x
,
y
∈ ∈ -->
A
.
{\displaystyle r\cdot (x\times y)=(r\cdot x)\times y=x\times (r\cdot y)\qquad \forall \;r\in R;\;\;x,y\in A.}
Пов'язані визначення:
Якщо A є комутативним кільцем, тоді воно називається комутативною R -алгеброю .
Якщо R є полем , тоді A називається алгеброю над полем
Алгебра з діленням — алгебра в якій можливе ділення . В такій алгебрі не існує дільників нуля .Нормована алгебра — це алгебра над полем з нормою ||·||, що задовільняє умову:
‖ ‖ -->
x
y
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
∀ ∀ -->
x
,
y
∈ ∈ -->
A
.
{\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|\quad \forall x,y\in A.}
Алгебра над полем за визначенням є векторним простором над
R
{\displaystyle R}
базис .
Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.
