Інфімум та супремум

Підмножина ${\displaystyle A}$ (сині) дійсних чисел, множина верхніх меж ${\displaystyle A}$ (червоні), і супремум ${\displaystyle A}$ (червоний ромб).

Інфімум та супремум — в теорії порядку це двоїсті поняття, що узагальнюють поняття мінімума та максимума для підмножини в частково впорядкованій множині.

Для підмножини ${\displaystyle S}$ частково впорядкованої множини ${\displaystyle (P,\leq )}$ :

І́нфімум (точна нижня межа, нижня грань) (лат. infimum — найнижчий) — це найбільша нижня межа S. Позначається ${\displaystyle \inf S}$.

Супремум (точна верхня межа, верхня грань) (лат. supremum — найвищий) — це найменша верхня межа S. Позначається ${\displaystyle \sup S}$.

Пов'язані визначення

Для підмножини ${\displaystyle X}$ частково впорядкованої множини ${\displaystyle (P,\leq )}$ :

Міноранта чи нижня межа ${\displaystyle X}$ — елемент ${\displaystyle a\in P}$, такий що ${\displaystyle \forall x\in X:\quad a\leqslant x}$.

Мажоранта чи верхня межа ${\displaystyle X}$ — елемент ${\displaystyle b\in P}$, такий що ${\displaystyle \forall x\in X:\quad x\leqslant b}$.

Визначення

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини ${\displaystyle X}$, називається найменший елемент ${\displaystyle P}$, який є мажорантою ${\displaystyle X}$.

Більш формально:

${\displaystyle S_{X}=\{b\in P\mid \forall x\in X\!:x\leqslant b\}\!}$ — множина мажорант ${\displaystyle X}$, тобто елементів ${\displaystyle P}$, рівних чи більших за всі елементи ${\displaystyle X}$

${\displaystyle s=\sup(X)\iff s\in S_{X}\land \forall b\in S_{X}\!:s\leqslant b.}$

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини ${\displaystyle X}$, називається найбільший елемент ${\displaystyle P}$, який є мінорантою ${\displaystyle X}$.

Властивості

• Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
• Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
• Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.

• Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
• І навпаки, для підмножини ${\displaystyle X}$:
  • якщо ${\displaystyle i=\inf(X)\in X}$, то ${\displaystyle i}$ є найменшим елементом та мінімумом ${\displaystyle X}$, позначається ${\displaystyle i=\min _{x\in X}x}$.
  • якщо ${\displaystyle s=\sup(X)\in X}$, то ${\displaystyle s}$ є найбільшим елементом та максимумом ${\displaystyle X}$, позначається ${\displaystyle s=\max _{x\in X}x}$.

Арифметичні операції

...

Інфімум та супремум для дійсних чисел

• Аксіома Дедекінда

Див. також

• Двоїстість (теорія порядку)
• Істотний інфімум та істотний супремум
• Верхня та нижня межа
• Найбільший та найменший елемент
• Максимальні та мінімальні елементи
• Поєднання та зустріч

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)