Серединний трикутник

Червоний трикутник — серединний трикутник для чорного трикутника. Вершини червоного трикутника є серединами сторін чорного трикутника.

Серединний трикутник^{[1] :стор.18} (додатковий трикутник) — трикутник ${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$, вершинами якого є середини сторін даного базового трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Сторони серединного трикутника є середніми лініями ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Є окремим випадком серединного багатокутника● при кількости сторін багатокутника ${\displaystyle n=3}$.

Властивості

M: центр описаного кола △ABC, ортоцентр △DEF
N: центр вписаного кола △ABC, точка Нагеля △DEF
S: центроїд △ABC та △DEF

• Серединний трикутник ${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$ є образом даного початкового трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ при гомотетії з центром у центроїді та коефіцієнтом ${\displaystyle k=-{\frac {1}{2}}}$.
  Таким чином, серединний трикутник подібний до початкового і має той самий центроїд і ті самі медіани, що й початковий трикутник ${\displaystyle \triangle ABC}$. Довжини сторін серединногоо трикутника вдвічі менші за довжини сторін початкового трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$.^[2]
• Периметр серединного трикутника ${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$ дорівнює півпериметру трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$, а його площа дорівнює чверті площі трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$. ^{[3] :стор.177}
• Чотири трикутники, на які розділяється початковий трикутник ${\displaystyle \triangle ABC}$ сторонами його серединного трикутника ${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$, рівні за трьома сторонами, тому їхні площі рівні.
  Через це іноді «серединними» називають одразу всі чотири, рівні між собою, внутрішні трикутники, одержані з початкового трикутника проведенням у ньому трьох середніх ліній (у термінології серединним називають тільки один з них — центральний).
• Ортоцентр серединного трикутника ${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$ збігається з центром описаного кола даного трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$, що доводить належність центра описаного кола, центроїда й ортоцентра одній прямій — прямій Ейлера.
• Серединний трикутник є подерним трикутником центра описаного кола трикутника відносно трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Коло дев'яти точок трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ є описаним для його серединного трикутника ${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$, а тому центр кола дев'яти точок ${\displaystyle \triangle ABC}$ є центром кола, описаного навколо серединного трикутника

${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$. ^[2]

• Точка Нагеля серединного трикутника є центром вписаного кола початкового трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$. ^{[4]:стоp.161,Теор.337}
• Серединний трикутник конгруентний до трикутника, вершинами якого є середини відрізків, що з'єднують ортоцентр і вершини початкового трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$.^{[4]:стор.103,#206;стор.108,#1}
• Центр вписаного кола трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ лежить всередині його серединного трикутника ${\displaystyle \triangle M_{A}M_{B}M_{C}}$.^{[5]:стор.233, лемма 1}

Точка всередині трикутника є центром вписаного у трикутник еліпса тоді й тільки тоді, коли ця точка лежить усередині серединного трикутника. ^{[6]:стоp.139}

• Серединний трикутник є єдиним вписаним трикутником, для якого жоден із трьох інших трикутників не має площу, меншу за площу цього трикутника. ^{[7]:стоp. 137}
• Центр кола, вписаного в серединний трикутник даного трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$, є центром мас периметра трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ (центром Шпікера);^{[8] :стор.19}
  Тобто цей центр є центром мас однорідної дротяної фігури, що відповідає трикутнику ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Координати

Нехай ${\displaystyle a=\left|BC\right|}$, ${\displaystyle b=\left|CA\right|}$, ${\displaystyle c=\left|AB\right|}$ - довжини сторін трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Тоді трилінійні координати вершин серединного трикутника задаються формулами:

${\displaystyle {\begin{cases}X=\left(0;{\frac {1}{b}};{\frac {1}{c}}\right)\\Y=\left({\frac {1}{a}};0;{\frac {1}{c}}\right)\\Z=\left({\frac {1}{a}};{\frac {1}{b}};0\right)\end{cases}}}$

Антисерединний трикутник

Якщо ${\displaystyle \triangle XYZ}$ — серединний трикутник для ${\displaystyle \triangle ABC}$, то ${\displaystyle \triangle ABC}$ є антисерединним трикутником для ${\displaystyle \triangle XYZ}$.^[9] Антисерединний трикутник для ${\displaystyle \triangle ABC}$ утворюється трьома прямими, паралельними сторонам ${\displaystyle \triangle ABC}$ — паралельно AB через точку C, паралельно AC через точку B і паралельно BC через точку A.

Трикутні координати вершин антисерединного трикутника ${\displaystyle \triangle X'Y'Z'}$ задаються формулами:^[9]

${\displaystyle {\begin{cases}X'=\left(-{\frac {1}{a}};{\frac {1}{b}};{\frac {1}{c}}\right)\\Y'=\left({\frac {1}{a}};-{\frac {1}{b}};{\frac {1}{c}}\right)\\Z'=\left({\frac {1}{a}};{\frac {1}{b}};-{\frac {1}{c}}\right)\end{cases}}}$

Примітки

1. Coxeter H. S. M., 1967.
2. Weisstein, Eric W. Medial triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
3. Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, 2012.
4. Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.
5. William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line. // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.
6. Chakerian G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
7. Ricardo M. Torrejon, "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum,  — 2005, — Вип. 5.
8. Зетель С.И., 1962.
9. Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. {{{Заголовок}}}. — Prometheus Books, 2012 (мова: англ.).

• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — изд.2. — москва : Учпедгиз, 1962 (мова: рашистська).

• Coxeter H. S. M.; Greitzer S. L. §1.7 "The Medial Triangle and Euler Line." // Geometry Revisited. — Washington : Math. Assoc. Amer, 1967 (мова: англ.). — Vol. 19.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Medial triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.