Гарсія є вихованцем клубу «Насьйональ» з рідного міста Монтевідео. 27 липня 2008 року у віці 17 років у матчі проти «Дефенсор Спортінга» він дебютував в уругвайській Прімері. 21 вересня в поєдинку проти столичного «Расінга» Сантьяго зробив «дубль», забивши свої перші голи за «Насьйональ»[5]. У складі клубу Гарсія двічі став чемпіоном країни, а в сезоні 2010/11 року найкращим бомбардиром чемпіонату.
Влітку 2011 року Гарсія перейшов до бразильського«Атлетіко Паранаенсе», підписавши контракт на п'ять років. Сума угоди склала 2,5 млн євро, що стало найдорожчим трансфером в історії бразильського клубу[6]. 10 липня в матчі проти «Аваї» Сантьяго дебютував у бразильській Серії A[7]. 23 липня в поєдинку проти «Ботафого» він зробив «дубль», забивши свої перші голи за нову команду[8].
Сантьяго не зміг адаптуватися в Туреччині і через рік повернувся на батьківщину в «Насьйональ», але так жодного разу не забивши протягом 14 матчів, був проданий у столичний «Рівер Плейт». 24 серпня 2014 року в матчі проти «Монтевідео Вондерерз» Гарсія дебютував за новий клуб[11]. 7 вересня в поєдинку проти своєї колишньої команди «Насьйональ» він забив свій перший гол за «Рівер Плейт»[12]. У 2015 році, забивши 10 м'ячів, Гарсія став найкращим бомбардиром Апертури.
На початку 2016 року Гарсія перейшов до аргентинського клубу «Годой-Крус»[13]. 6 лютого в матчі проти «Росаріо Сентраль» він дебютував в аргентинській Прімері, замінивши в другому таймі Хайме Айові[14]. Через тиждень у поєдинку проти «Індепендьєнте» Сантьяго забив свій перший гол за «Годою-Крус»[15]. У своєму дебютному сезоні Гарсія забив 9 м'ячів і став одним із найкращих снайперів чемпіонату. У 2018 році він допоміг клубу посісти друге місце, а сам став найкращим бомбардиром першості.
6 лютого 2021 року його знайшли мертвим[25] з вогнепальним пораненням у праву тім'яну частину[26] у його квартирі в Мендозі[27]. Раніше Гарсія проходив психіатричне лікування від депресії . Через кілька годин було підтверджено, що причиною його смерті стало самогубство[28]. За словами прокурора у справі, подія сталася вранці в четвер, 4 лютого[29]. Після того, як смерть Гарсії була підтверджена, «Годой Крус» оголосив, що номер 18, який футболіст носив під час перебування в клубі, буде вилучено на його честь[30][31].