Однорідна функція

Однорі́дна фу́нкція (англ. homogeneous function) ступеня ${\displaystyle q}$ — числова функція ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ така, що для будь-якого ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$ та ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ виконується рівність:

${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (*)}$

причому ${\displaystyle q}$ називають порядком однорідності.

Розрізняють також

• додатно однорідні функції, для яких рівняння ${\displaystyle (*)}$ виконується тільки для додатних ${\displaystyle \lambda }$ (${\displaystyle \lambda >0}$)
• абсолютно однорідні функції для яких виконується рівняння
      ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} )}$

Властивості

1. Якщо функція ${\displaystyle f}$ є многочленом від ${\displaystyle n}$ змінних, тоді вона буде однорідною функцією степеню ${\displaystyle q}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle f}$ — однорідний многочлен степеню ${\displaystyle q}$, зокрема в цьому випадку ${\displaystyle q}$ має бути цілим.
2. Однорідна функція в нулі дорівнює нулю, якщо вона там визначена:
       ${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0\qquad \qquad }$
3. Лема Ейлера. Однорідні функції пропорційні скалярному добутку свого градієнта на вектор своїх змінних з коефіцієнтом, що дорівнює порядку однорідності:
       ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} ).}$
   Доводиться диференціюванням рівняння (*) по ${\displaystyle \lambda }$ при ${\displaystyle \lambda =1}$.

Теорема Ейлера

Теорема Ейлера про однорідні функції стверджує, що однорідна функція порядку k є розв'язком такого рівняння з частинними похідними:

${\displaystyle k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

І навпаки, розв'язком такого рівняння є деяка однорідна функція.

Доведення

Позначимо ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ та ${\displaystyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$.

Щоб довести формулу застосуємо ланцюгове правило диференціювання до ${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )}$ по відношенню до ${\displaystyle s,}$ а потім спрямуємо s до 1.

Щоб довести зворотнє, проінтегруємо диференціальне рівняння:

${\displaystyle sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).}$

Це лінійне диференціальне рівняння має розв'язок ${\displaystyle g(s)=g(1)s^{k}.}$ Тому

<math> f(s \mathbf{x}) = g(s) = s^k g(1) = s^k f(\mathbf{x}).

Див. також

• Однорідне рівняння
• Ізотопність
• Неперервна функція

Посилання

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Однорідна функція на PlanetMath.(англ.)