Нерівність Берроу

Нерівність Берроу — це нерівність, яка пов'язує відстані між довільною точкою всередині трикутника, вершинами трикутника та певними точками на сторонах трикутника. Вона названа на честь Девіда Френсіса Берроу^[en].

Твердження

Нехай P — довільна точка всередині трикутника ABC. U, V та W точки, де бісектриси кутів BPC, CPA та APB перетинають сторони BC, CA, AB відповідно. Тоді нерівність Берроу стверджує, що^[1]

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}$

причому нерівність перетворюється на рівність лише у випадку рівностороннього трикутника, в якому Р — центр трикутника.^[1]

Узагальнення

Нерівність Берроу можна поширити на опуклі многокутники. Якщо точка ${\displaystyle P}$ є внутрішньою для опуклого многокутника з вершинами ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ і ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}}$ перетини бісектрис кутів ${\displaystyle \angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}}$ з відповідними сторонами многокутника ${\displaystyle A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}}$, то виконується така нерівність:^[2][3]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|}$

Тут ${\displaystyle \sec(x)}$ позначає функцію секанс. У випадку трикутника ${\displaystyle n=3}$ і нерівність стає нерівністю Берроу, оскільки ${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2}$.

Історія

Посилення Берроу нерівності Ердеша — Морделла: ${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}}$

Нерівність Берроу посилює нерівність Ердеша — Морделла, яка має таку ж форму, за винятком PU, PV та PW, замінених трьома відстанями P від сторін трикутника. Її названо на честь Девіда Френсіса Берроу. Доведення цієї нерівності Берроу опублікував 1937 року як розв'язок задачі про доведення нерівності Ердеша — Морделла, опублікованої в Американському математичному щомісячнику.^[1] Цей результат названо «нерівністю Берроу» ще в 1961 року.^[4]

Простіше доведення відшукав Луїс Дж. Морделл^[en].^[5]

Див. також

• Теорема Ейлера в геометрії
• Список нерівностей трикутників

Примітки

1. Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937), Solution to problem 3740, The American Mathematical Monthly, 44 (4): 252—254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713.
2. M. Dinca: «A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality». In: Articole si Note Matematice, 2009
3. Hans-Christof Lenhard: «Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone». In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311—314, doi:10.1007/BF01650566 (German).
4. Oppenheim, A. (1961), New inequalities for a triangle and an internal point, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 53: 157—163, doi:10.1007/BF02417793, MR 0124774
5. Mordell, L. J. (1962), On geometric problems of Erdös and Oppenheim, The Mathematical Gazette, 46 (357): 213—215, JSTOR 3614019.

Посилання

• Hojoo Lee: Topics in Inequalities — Theorems and Techniques