Модель перетинних поколінь

Пітер Артур Даймонд

Пол Ентоні Самуельсон

Модель перетинних (пересічних) поколінь (модель Даймонда, модель Самуельсона — Даймонда, англ. overlapping generations model) — модель екзогенного економічного зростання в умовах досконалої конкуренції. Розроблена в 1965 році Пітером Даймондом з використанням ідей Пола Самуельсона. У моделі відображено зміну споживчої поведінки індивіда з вікових причин. Це дозволило зробити кроки в напрямку розуміння того, яким чином рішення індивідів формують норму заощаджень в економіці. При цьому у моделі заперечуються альтруїстичні зв'язки між поколіннями, вона не дає задовільного пояснення відмінностям між країнами у рівні доходу на душу населення.

Історія створення

У перших моделях економічного зростання (модель Солоу, модель Харрода — Домара) використовувалися задані екзогенно параметри «норма заощаджень» та «темп науково-технічного прогресу», від яких, зрештою, і залежали темпи зростання, які демонстрували моделі. Дослідники ж хотіли отримати обґрунтування темпів економічного зростання внутрішніми (ендогенними) факторами, оскільки моделі зі заздалегідь визначеною нормою заощаджень мали низку недоліків. Наприклад, вони не пояснювали стійкі відмінності у рівнях і темпах зростання між розвиненими країнами та країнами, що розвиваються. У моделі Рамсея — Касса — Купманса було подолано недолік екзогенності норми заощаджень. Однак вона зберегла інший недолік ранніх моделей — в ній розглядається безсмертний індивід (або домогосподарство) як рівномірний вічний споживач^[1]. Але у реальності з часом характер фінансової та споживчої поведінки змінюється. Якщо в молодому віці індивід працює і робить заощадження, то в літньому віці він ці заощадження витрачає^[2]. Саме на це майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки Пол Самуельсон звернув прискіпливу увагу. У грудні 1958 року він опублікував роботу «Моделювання відсоткової ставки на основі співвідношення споживання та кредитування за наявності або відсутності соціальної концепції грошей», в якій була представлена проста модель економіки на основі ідей Ойґен фон Бем-Баверка про причини існування відсоткового доходу на капітал, де були виділені три періоди життя індивідуума та відповідне цим періодам споживання (у перших двох він працює, у третьому — виходить на пенсію)^[3]. У грудні 1965 року Пітер Даймонд, також майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки, опублікував роботу «Національний борг у неокласичній моделі зростання» у журналі The American Economic Review, в якій він розвинув ідеї Самуельсона з урахуванням висновків моделі Солоу та моделі Рамсея-Касса-Купманса і представив модель перетинних поколінь^[1][2][4], також відому як модель Даймонда^[5] або модель Самуельсона — Даймонда^[6].

Опис моделі

Базові передумови

У моделі розглядається закрита економіка. Фірми функціонують за умов досконалої конкуренції та максимізують свій прибуток, а споживачі — корисність своїх витрат. Виготовляється лише один продукт ${\displaystyle Y}$, що використовується як для споживання ${\displaystyle C}$, так і для виробничих потреб (враховується як інвестиції) ${\displaystyle I}$. Темпи технологічного прогресу ${\displaystyle g}$, зростання населення ${\displaystyle n}$ та норма вибуття обладнання (капіталу) ${\displaystyle \delta }$ — постійні і задаються екзогенно. Індивідууми живуть два періоди: у першому вони працюють, споживають та зберігають, у другому — лише споживають, витрачаючи власні заощадження з першого періоду (виходять на пенсію). Альтруїстичні зв'язки між поколіннями відсутні: молоді не допомагають людям похилого віку і не отримують спадщину. Час ${\displaystyle t}$ змінюється дискретно, тобто періоди не мають власної тривалості^[6][7][8]. Один період моделі відповідає зміні виробничих поколінь, тобто у реальному вираженні еквівалентний приблизно 25—30 рокам^[9].

Закритість економіки означає, що вироблений продукт витрачається тільки на заощадження і споживання, експорт/імпорт відсутні, інвестиції завжді дорівнюють заощадженням: ${\displaystyle S=I}$, ${\displaystyle Y=C+I}$^[10][11].

Виробнича функція ${\displaystyle Y(K,L,E)}$ задовольняє неокласичним передумовам^[12]:

1. технологічний прогрес збільшує продуктивність праці (нейтральний за Харродом): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=(1+g)E_{t-1},g=const}$.
2. у виробничій функції використовується праця ${\displaystyle L}$ та капітал ${\displaystyle K}$, вона має постійну віддачу від масштабу: ${\displaystyle Y(aK,aLE)=aY(K,LE)}$.
3. гранична продуктивність факторів позитивна та спадна: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$.
4. виробнича функція задовольняє умовам Інади, а саме, якщо запас одного з факторів нескінченно малий, то його гранична продуктивність нескінченно велика, якщо запас одного з факторів нескінченно великий, то його гранична продуктивність нескінченно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$.
5. для виробництва необхідні всі фактори: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,LE)=0}$.

Населення ${\displaystyle L_{t}}$ зростає з постійним темпом ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle L_{t}=(1+n)L_{t-1},n=const}$. У кожному періоді ${\displaystyle t}$ живе ${\displaystyle L_{t}}$ молодих та ${\displaystyle L_{t-1}}$ літніх індивідів. Сукупне споживання ${\displaystyle C}$ дорівнює^[13]:

${\displaystyle C_{t}=c_{1t}L_{t}+c_{2t}L_{t-1}}$

де ${\displaystyle c_{1t}L_{t}}$ — споживання працюючого покоління, ${\displaystyle c_{2t}L_{t-1}}$ — споживання покоління, що вийшло на пенсію.

Молодий індивід пропонує одну одиницю праці (пропозиція праці нееластична) і отримує натуральну заробітну плату (деякою кількістю єдиного виробленного товару, гроші відсутні). Кожен індивід обирає і розподіляє отримане між споживанням зараз (у молодості) або заощадженням (споживанням у старості), максимізуючи міжчасову корисність своїх витрат, яка описується наступною функцією^[14]:

${\displaystyle U_{t}={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {1}{1+\rho }}\times {\frac {c_{2t+1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$

де ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — еластичність заміщення за часом, ${\displaystyle \theta >0}$, ${\displaystyle \theta =const}$, ${\displaystyle {\rho }}$ — коефіцієнт міжчасової переваги споживача, ${\displaystyle \rho >-1}$, ${\displaystyle \rho =const}$.

Функція відповідає умовам ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ і умовам Інади (при споживанні, що прагне до нуля, гранична корисність прагне нескінченності; при споживанні, що прагне нескінченності, гранична корисність прагне нуля): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0}$.

Спочатку весь капітал ${\displaystyle K_{0}}$ перебуває у літніх, вони його повністю витрачають протягом першого періоду. Заощадження дорівнюють інвестиціям, які робить молоде покоління. Інвестиції своєю чергою дорівнюють капіталу в наступному періоді^[6][15]:

${\displaystyle S_{t}=s_{t}L_{t}=I_{t}=K_{t+1}}$

де ${\displaystyle s_{t}}$ — заощадження в розрахунку на одного працівника.

Для пошуку рішення моделі використовуються питомі показники: випуск на одиницю ефективної праці ${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}}$, капітал на одиницю ефективної праці ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$^[16].

Мета споживача

Споживач максимізує міжчасову корисність своїх витрат. Оскільки, згідно з моделлю, індивід працює тільки молодим (у першому періоді), міжчасове бюджетне обмеження споживача відповідає формулі^[17]:

${\displaystyle c_{1t}+{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=w_{t}E_{t}}$

Таким чином, мета споживача має такий вигляд:

${\displaystyle U_{t}\rightarrow max}$

за умови:

${\displaystyle w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0}$

де ${\displaystyle w_{t}}$ — реальна заробітна плата в періоді ${\displaystyle t}$.

Для вирішення цього завдання складається функція Лагранжа і знаходиться її максимум^[17].

Пошук максимуму функції Лагранжа

${\displaystyle L={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {c_{2t}^{1-\theta }-1}{(1-\theta )(1+\rho )}}+\lambda {\biggl (}w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{r_{t+1}}}{\biggr )}}$

Умови максимуму:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial L}{\partial c_{1t}}}=c_{1t}^{-\theta }-\lambda =0,\\{\frac {\partial L}{\partial c_{2t+1}}}={\frac {c_{2t+1}^{-\theta }}{1+\rho }}-{\frac {\lambda }{1+r_{t+1}}}=0,\\{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0.\end{cases}}}$

Результатом розв'язання цієї системи рівнянь є норма заощаджень ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}}$ для періоду ${\displaystyle t}$^[15]:

${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\frac {{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}}$

Мета фірми

Фірма максимізує свій прибуток ${\displaystyle \pi }$. Випуск фірми описується неокласичною виробничою функцією^[18]:

${\displaystyle y_{t}=f({\hat {k}}_{t})}$, де ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}E_{t}}}}$

Мета фірми виглядає так:

${\displaystyle \pi =F(K_{t},L_{t})-r_{t}K_{t}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

В умовах досконалої конкуренції рішення завдання фірми призводить до того, що плата за працю (заробітна плата) ${\displaystyle w}$ та плата за капітал ${\displaystyle r}$ (відсоткова ставка) дорівнюють відповідним граничним продуктивностям^[19][18]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})}$

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}+\delta =f'({\hat {k}}_{t})}$

Загальна економічна рівновага

Модель перетинних поколінь, фазова площина, варіант 1

Модель перетинних поколінь, фазова площина, варіант 2

Модель перетинних поколінь, фазова площина, виробнича функція Кобба — Дугласа, логарифмічна функція корисності: досягнення рівноваги

Згідно передумов моделі: ${\displaystyle K_{t+1}=s_{t}L_{t}}$. Звідки з урахуванням вирішення завдань споживача та фірми, отримуємо^[19]:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\frac {1}{(1+n)(1+g)}}\times {\frac {(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}\times (f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t}))}$

Оскільки ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ входить як у праву, так і у ліву частини рівняння, знайти явні рішення цього рівняння можливо лише запровадивши додаткові припущення. За умови, що споживання у першому періоді та споживання у другому періоді є досконалими замінниками, тоді рівновага існує. Якщо при цьому заощадження монотонно зростають за процентною ставкою (${\displaystyle s_{t}'(r_{t})>0}$), то ця рівновага є єдиною.

Якщо позначити ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})={\frac {s_{t}}{E_{t}}}}$, де ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})}$ — заощадження в розрахунку на одиницю праці з постійною ефективністю в період ${\displaystyle t}$, тоді рівняння набуде вигляду^[20]:

${\displaystyle (1+n)(1+g){\hat {k}}_{t+1}=s{\bigl (}[f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta ],[f({\hat {k}}_{1})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})]{\bigr )}}$

Звідки можливо вивести динаміку капіталоозброєності^[20]:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}={\frac {-s'_{w}{\hat {k}}_{t}f''({\hat {k}}_{t})}{(1+n)(1+g)-s'_{r}f''({\hat {k}}_{t+1})}}}$

Як результат можливо отримати два варіанти фазової площини^[ru] (див. ілюстрації). У першому варіанті крива ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ виходить з початку координат під кутом більше за 45° (вище лінії ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$), тоді в моделі буде непарна кількість рівноважних станів (точки перетину ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ та ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\hat {k}}_{t}}$), з яких перетини, непарні по порядку від початку координат (перший, третій, п'ятий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а які йдуть парними (другий, четвертий, тощо) — нестійкими.

У другому варіанті крива ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ виходить з початку координат під кутом меншим за 45° (нижче лінії ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$), тоді в моделі буде парна кількість рівноважних станів, з яких перетини, парні від початку координат (другий, четвертий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а непарні (перший, третій, тощо) — нестійкими^[21].

Рівновага для виробничої функції Кобба-Дугласа та логарифмічної функції корисності

Наочно досягнення рівноваги продемонструється у разі логарифмічної функції корисності та виробничої функції Кобба-Дугласа. В цьому випадку ${\displaystyle \theta =0}$, а корисність витрат для індивіда описується функцією^[22]:

${\displaystyle U=\ln(c_{1t})+{\frac {\ln(c_{2t+1})}{1+\rho }}}$

Випуск ${\displaystyle Y}$ описується функцією:

${\displaystyle Y=K^{\alpha }(LE)^{1-\alpha }}$

Тоді, норма заощаджень дорівнює: ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\bar {s}}={\frac {1}{2+\rho }}}$, а стійкий рівень капіталоозброєності (у цьому випадку існує лише один рівноважний стан) дорівнює^[22][23]: ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Процес досягнення рівноваги на фазовій площині для цього випадку показано на ілюстрації.

Стійкий рівень випуску на одиницю праці з постійною ефективністю ${\displaystyle {\hat {y}}^{*}}$ у цьому випадку становить:

${\displaystyle {\hat {y}}^{*}={\hat {k}}^{*\alpha }={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$

Як і в моделях Солоу та Рамсея — Каса — Купманса, споживання максимальне у тому випадку, якщо ${\displaystyle f'({\hat {k}}^{*})=n+g+\delta }$. Таким чином, у моделі можлива динамічна неефективність (надлишкове накопичення капіталу), в тому випадку, якщо^[24]:

${\displaystyle {\frac {\alpha (1+n)(1+g)(2+\rho )}{1-\alpha }}<n+g+\delta }$

Конвергенція

Модель передбачає наявність умовної конвергенції, тобто, що країни з малим рівнем капіталоозброєності зростатимуть вищими темпами, ніж країни із великим рівнем капіталоозброєності, за умови, що стійкий рівноважний стан у них однаковий. Окремий випадок з виробничою функцією Кобба — Дугласа та логарифмічною корисністю дозволяє оцінити, наскільки швидко конвергенція відбувається. Швидкість наближення до стану стійкої рівноваги оцінюють за допомогою лінійної апроксимації ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ в залежності від ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}}$ за допомогою розкладання в ряд Тейлора^[25]:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}\approx {\hat {k}}^{*}+{\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*})}$

Якщо позначити похідну у точці рівноваги ${\displaystyle \lambda ={\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}}$, тоді шляхом рекурентних замін виходить наступне рівняння наближення до рівноважного стану:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$

Для цього випадку, ${\displaystyle \lambda =\alpha }$ тому:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})=\alpha ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$

Таким чином, у розглянутому випадку швидкість конвергенції безпосередньо залежить від ${\displaystyle \alpha }$ — частки доходу на капітал у загальному доході. Чим менша частка доходу на капітал (тобто, чим більша частка праці у вигляді заробітної плати, що можливо за умови малої капіталоозброєності), тим швидше відбувається рух до рівноважного стану, і тим швидше бідні країни наздоганяють багатих^[9].

Фіскальна політика в моделі

Модель перетинних поколінь, фазова площина, фіскальна політика

Модель дозволяє оцінити вплив фіскальної політики на рівновагу. В рамках моделі збільшення податків і державних витрат призводить до рівноваги з меншим рівнем капіталоозброєності, випуску та споживання. Вплив бюджетно-податкової політики показано на діаграмі. Крива ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ зсувається вниз на розмір податків (державних витрат) на одиницю ефективної праці. Сума податків передбачається рівною розміру державних витрат (${\displaystyle {\hat {G}}_{t}={\hat {T}}_{t}}$), що не впливає на корисність індивідів та майбутній випуск. Рівновага зсувається з точки ${\displaystyle A}$ (стійка рівновага) до точки ${\displaystyle B}$ (стійка рівновага), і встановлюється на нижчому рівні капіталоозброєності ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}:{\hat {k}}_{B}^{*}<{\hat {k}}_{A}^{*}}$ та споживання. З'являється третя рівноважна точка ${\displaystyle C}$, яка є нестійкою рівновагою. Рівність Рікардо — Барро^[ru] не виконується^[6][26]. Таким чином, в моделі державні витрати витісняють як споживання, і інвестиції^[27].

Переваги, недоліки та подальший розвиток моделі

Одним із суттєвих недоліків моделі є повна відсутність альтруїстичних зв'язків між поколіннями^[28]. Щоб подолати цей недолік, Джеймс Андреоні^[ru], а також Роберт Барро та Хав'єр Сала-і-Мартін^[ru] запропонували ввести в функцію корисності витрат кожного індивіда корисність витрат його дітей з деяким коефіцієнтом^[29][4]. Така модель перетворюється на дискретний аналог моделі Рамсея — Касса — Купманса для випадку, коли ${\displaystyle \rho =0}$. Динамічна неефективність стає неможливою, а наслідки бюджетно-податкової політики відповідають рівністі Рікардо — Барро^[ru]. Однак у цьому випадку з'являються і недоліки моделі Рамсея — Касса — Купманса: втрачається можливість недосконалості ринку (динамічної неефективності), а значить, модель перестає пояснювати причини, що призводять до неоптимальної за Парето рівноваги в економіці^[26].

Пол Самуельсон використав цю модель для дослідження впливу розподільної (солідарної) пенсійної системи на загальну економічну рівновагу. В роботі робиться висновок: якщо в економіці встановилась динамічно неефективна рівновага з надлишковим накопиченням капіталу, то розподільна пенсійна система дозволяє перейти до оптимальнішого розподілу ресурсів з вищим споживанням^[30][31]. Якщо ж використовується накопичувальна пенсійна система, то економічна рівновага залишається незмінною^[31].

Модифікація моделі з безперервним часом, в якій життя індивіда має деяку тривалість, але не поділяється на періоди молодості та старості, проте індивід може померти будь-якої миті з деякою ймовірністю, була розроблена Менахемом Яарі^[ru][32] та Олів'є Бланшаром^[33]. Через те, що в цій модифікації ймовірність смерті індивіда не змінюється з віком, вона отримала назву «модель вічної молодості»^[31]. У ній існує єдине рівноважне значення капіталоозброєності, яке при цьому стійке, і так само, як переважно варіанті, є можливість надлишкового накопичення в точці рівноваги^[31].

В цілому, модель перетинних поколінь більш реалістично описує загальну економічну рівновагу та процес її досягнення, ніж моделі Солоу або Рамсея — Касса — Купманса^[26]. Перевагою моделі є можливість динамічної неефективності, однак у моделі вона пов'язана з надлишковим накопиченням капіталу, яке не є типовою проблемою країн, що розвиваються, навпаки, у них зазвичай спостерігається недостатність капіталу^[31]. До того ж, модель передбачає наявність умовної конвергенції, що означає зростання бідних країн швидше за багатих за умови схожості структурних параметрів. Але в реальності цього не відбувається, як показали, наприклад, дослідження Р. Холла^[ru] та Ч. Джонса^[ru][34], Дж. Де Лонга^[35], П. Ромера^[36]. Також, як і в моделях Солоу і Рамсея — Касса — Купманса, науково-технічний прогрес у моделі перетинних поколінь не є наслідком прийняття рішень економічними агентами, а задається екзогенно. Тому, попри всі свої переваги, модель не дає відповіді на питання, чому одні країни багаті, а інші — бідні, і чому другі не можуть наздогнати перших^[31].

Примітки

1. Аджемоглу, 2018, с. 501.
2. Туманова, Шагас, 2004, с. 252.
3. Samuelson, 1958.
4. Барро, Сала-и-Мартин, 2010.
5. Ромер Д., 2014.
6. Diamond, 1965.
7. Туманова, Шагас, 2004, с. 252—256.
8. Аджемоглу, 2018, с. 501—505.
9. Туманова, Шагас, 2004, с. 264.
10. Туманова, Шагас, 2004, с. 187.
11. Аджемоглу, 2018, с. 36—47.
12. Туманова, Шагас, 2004, с. 256.
13. Аджемоглу, 2018, с. 505.
14. Аджемоглу, 2018, с. 509.
15. Туманова, Шагас, 2004, с. 255.
16. Аджемоглу, 2018, с. 91.
17. Туманова, Шагас, 2004, с. 254.
18. Аджемоглу, 2018, с. 506.
19. Туманова, Шагас, 2004, с. 257.
20. Туманова, Шагас, 2004, с. 258.
21. Туманова, Шагас, 2004, с. 260.
22. Туманова, Шагас, 2004, с. 262.
23. Аджемоглу, 2018, с. 513.
24. Туманова, Шагас, 2004, с. 265.
25. Туманова, Шагас, 2004, с. 263.
26. Туманова, Шагас, 2004, с. 271.
27. Туманова, Шагас, 2004, с. 267.
28. Туманова, Шагас, 2004, с. 268.
29. Andreoni, 1989.
30. Samuelson P., 1975.
31. Аджемоглу, 2018.
32. Yaari, 1965.
33. Blanchard, 1985.
34. Hall, Jones, 1996.
35. De Long, 1988.
36. Romer P. M., 1989.

Література

• Дарон Аджемоглу. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Модель пересічних поколінь Самуельсона — Даймонда // Макроекономіка.
• Роберт Барро, Хав'єр Сала-і-Мартін^[ru]. Экономический рост / Пер. с англ. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Олів'є Бланшар, Стенлі Фішер^[ru]. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5.
• Девід Ромер^[ru]. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М. : Издательский дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М. : ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• James Andreoni^[en]. Giving with Impure Altruism: Applications to Charity and Ricardian Equivalence // Journal of Political Economy^[en]. — 1989. — Т. 97, № 6 (17 грудня). — С. 1447—1458. — DOI:10.1086/261662.
• Олів'є Бланшар. Debt, Deficits and Finite Horizons // Journal of Political Economy^[en]. — 1985. — Т. 93, № 2 (17 грудня). — С. 223—247. — DOI:10.1086/261297.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Т. 78, № 5 (17 грудня). — С. 1138—1154.
• Пітер Артур Даймонд. National Debt in Neoclassical Growth Model // The American Economic Review. — 1965. — Т. 55, № 5 (17 грудня). — С. 1126—1150.
• Р. Холл^[ru], Ч. Джонс^[ru]. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812 (17 грудня). — DOI:10.3386/w5812.
• Пол Ромер. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173 (17 грудня). — DOI:10.3386/w3173.
• Пол Семюельсон. An exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money // Journal of Political Economy^[en]. — 1958. — Т. 66, № 6 (17 грудня). — С. 467—482. — DOI:10.1086/258100.
• Пол Семюельсон. Optimum Social Security in a Life-Cycle Growth Model // International Economic Review^[en]. — 1975. — Т. 16, № 3 (17 грудня). — С. 539—544. — DOI:10.2307/2525994.
• Менахем Яарі^[ru]. Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer // The Review of Economic Studies^[en]. — 1965. — Т. 32, № 2 (17 грудня). — С. 137—150. — DOI:10.2307/2296058.

Ця сторінка належить до добрих статей української Вікіпедії.