Крива байдужості

У теорії споживання криві́ байду́жості — криві, що з'єднують всі споживчі набори (комбінації кількості товарів), які перебувають у відношенні байдужості. Інакше кажучи, порівнюючи будь-які два набори, що знаходяться на тій самій кривій байдужості, споживач не надасть перевагу жодному з них. Криві байдужості є наглядним способом представлення відношення переваги у випадку двох товарів.

Якщо відношення переваги представляється функцією корисності ${\displaystyle U(x_{1},x_{2})\,\!}$, то криві байдужості є лініями рівня цієї функції, тобто, кожна крива байдужості має рівняння ${\displaystyle U(x_{1},x_{2})=c\,\!}$ для деякої сталої ${\displaystyle c\,\!}$.

Формальне означення

Нехай простір товарів ${\displaystyle X\subset R_{+}^{2}\,\!}$. Кривою байдужості довільного вектора (споживчого набору) ${\displaystyle y\,\!}$ називається множина ${\displaystyle {\big \{}x\in X:x\sim y{\big \}}\,\!}$. Оскільки відношення байдужості є відношенням еквівалентності, то криві байдужості не перетинаються, кожна точка належить рівно одній кривій байдужості, крива байдужості однозначно визначається будь-якою своєю точкою.

Якщо відношення переваги представляється функцією корисності ${\displaystyle U(x_{1},x_{2})\,\!}$, то крива байдужості довільного споживчого набору ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2})\,\!}$ має рівняння

${\displaystyle U(x_{1},x_{2})=U(y_{1},y_{2})\,\!}$

Узагальненням кривих байдужості на випадок довільної кількості товарів є класи байдужості (поверхні байдужості).

Приклади

• У випадку досконало взаємозамінних товарів (рис.1), які описуються лінійною функцією корисності ${\displaystyle U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2}\,\!}$, де ${\displaystyle a,b=const>0\,\!}$, всі криві байдужості будуть паралельними прямими

${\displaystyle ax_{1}+bx_{2}=c\,\!}$

Прикладом таких товарів, принаймні для частини споживачів, є Пепсі-кола та Кока-кола. Якщо користувач не надає перевагу смаку жодного з цих напоїв, то набори (2хПепсі-кола, 0хКока-кола), (1хПепсі-кола, 1хКока-кола), (0хПепсі-кола, 2хКока-кола) є для нього однаково добрі, отже, знаходяться на одній кривій байдужості. Оскільки в теорії споживання приймається припущення, що всі товари є довільно подільні, то кривою байдужості буде цілий відрізок від точки (2; 0) до точки (0; 2). Коефіцієнти ${\displaystyle a,b\,\!}$ дозволяють моделювати товари, які є досконало взаємозамінними у відношенні іншому ніж 1:1.

• Досконало взаємодоповнюючі товари, які описуються функцією корисності Леонтьєва, мають криві байдужості у вигляді ліктеподібних ламаних (рис.2). Рівняння цих ламаних

${\displaystyle \operatorname {min} {\big \{}ax_{1},bx_{2}{\big \}}=c\,\!}$

Якщо, наприклад, хтось активно використовує у своїй праці олівці та гумки до стирання і на 3 списані олівці стирає рівно одну гумку, то корисність цілого набору визначається кількістю комплектів (3хОлівець, 1хГумка). Таким чином, набори (9, 3), (15, 3), (9, 4) мають однакову корисність, бо в кожному є 3 комплекти, а додаткові олівці у другому наборі чи гумки у третьому не додають корисності. Набір (9, 3) знаходиться у вершині ламаної, збільшення кількості самих лише олівців (перший товар) дає півпряму праворуч, збільшення кількості гумок (другий товар) — півпряму вгору.

• 
  Рис.1. Досконало взаємозамінні товари
• 
  Рис.2. Досконало взаємодоповнюючі товари
• 
  Рис.3. Строго опукле відношення переваги

• Найчастіше розглядаються опуклі криві байдужості (рис.3). Опуклість кривих байдужості є проявом строгої опуклості відношення переваги. Прикладом відповідної функції корисності є функція Коба-Дугласа. Рівняння кривих байдужості для цієї функції

${\displaystyle x_{1}^{a}x_{2}^{b}=c\,\!}$

Опуклість кривих байдужості є наслідком опуклості відношення переваги, що є проявом схильності споживача до збалансованого споживання наявних товарів.

• У випадку лексикографічного відношення переваги криві байдужості вироджуються у точки, оскільки для цього відношення переваги немає двох різних так само добрих наборів товарів.

Властивості

Якщо відношення переваги є монотонним, неперервним та строго опуклим, то криві байдужості:

• є кривими спадними. Від'ємний нахил кривої байдужості є наслідком монотонності — при зростанні кількості одного товару, кількість іншого повинна зменшитись щоб набір залишався на тому ж рівні корисності;
• є строго опуклими. Якщо з набору послідовно забираємо одиниці першого товару, то, для утримання того ж рівня корисності, треба додавати щоразу більше другого товару. Опуклість кривих байдужості відповідає першому закону Госсена (принцип спадної граничної корисності).

Див. також

• Бюджетне обмеження
• Відношення переваги
• Корисність
• Гранична корисність
• Лексикографічне відношення переваги
• Монотонне відношення переваги
• Неперервне відношення переваги
• Опукле відношення переваги
• Функція корисності

Джерела

• Varian, Hal R. (2005). Intermediate Microeconomics. W.W. Norton & Company.
• В. А. Козицький, С. П. Лавренюк, М. О. Оліскевич (2004). Основи математичної економіки. Теорія споживання. Львів: Піраміда.