1917 року закінчив Єлисаветградські земські педагогічні курси й одержав звання народного вчителя. Навчаючись на педкурсах, випускав рукописний журнал «Лісовий струмок», де в одному з номерів помістив допис «Більшовизм», у якому піддав жорсткій критиці радянський лад.
1922 року із членів Новомиргородського педколективу організував редколегію і розпочав видавати ілюстрований журнал «Перша ластівка». Брав участь у сільськогосподарській комуні «Рілля». За гострий політичний конфлікт був звільнений із посади завідувача 4-ї Новомиргородської школи та позбавлений членства в Спілці вчителів. У пошуках справедливості апелював до Єлисаветград. відділу освіти, який 1923 року скерував його на навчання до Одеси.
1926 року закінчив факультет соціального виховання, а в 1928 році — мовно-літературний факультет Одеського інституту народної освіти, захистивши дипломну працю «Борис Грінченко». Грав на бандурі, ходив у національному вбранні, у відвертих розмовах говорив правду про події 1918 року в Україні. Навесні 1928 мав здавати державний іспит, але з 6 на 7 березня був заарештований співробітниками ДПУ і засланий на 3 роки до Йошкар-Оли. Диплом про освіту все ж отримав.
Після повернення з заслання закінчив Харківський автошляховий інститут.
Із 1932 — лінійний інженер на будівництві автошляху в Черкасах.
1937 року був знову заарештований за антирадянську агітацію і пропаганду й засланий у Самарлаг Куйбишевської обл. на 10 років. Працював у концтаборі на будівництві авіазаводів, що постачали на фронт літаки «І-14» та «І-15». Хворий і знесилений чекав смертного часу, та завдяки знанням технології торкретбетону за вказівкою зверху був порятований і працював на секретних об'єктах «A» і «Б»: споруджував радіощоглу, що мала замінити московську; величезне підземне сховище для уряду з Москви, на випадок евакуації під натиском німецьких військ.
Після відбуття терміну — вільнонайманий робітник.
1949 року утретє заарештований за політичною статтею й засланий на вічне поселення до Красноярського краю. У Велико-Улуйському районі підняв шляхове будівництво.
Після викриття культу особи Сталіна повернувся в Україну. 9 липня1958 року постановою Черкаського обласного суду реабілітований.
Упродовж багатьох років брав активну участь у національно-громадському житті. Свідчення тому: організоване ним встановлення пам'ятника Тарасу Шевченку в с. Лип'я́нка (скульптура Івана Гончара), залишені спогади, фотографії, листування з друзями: Борисом Антоненком-Давидовичем, Михайлом Стельмахом, Іваном Романченком, професором філології Володимиром Лазурським; опубліковані в пресі спогади з історії Новомиргородщини та Шполянщини. Його філософські, політичні, національні погляди найповніше відображені в епістолярній спадщині.
1969 року започатковав традицію покладання «березневих вінків» до пам'ятників Тараса Шевченка у Шполянському районі, клопотав про вихід творів передової зарубіжної класики та журналу «Кур'єр ЮНЕСКО» українською мовою, про реформу освіти, повернення до української абетки вилученої літери «ґ», залучив до цього близьких і знайомих, самотужки упорядкував «Автошляховий словник». Щоб зберегти та виявити зацікавленість і потяг до примноження яскравих сторінок історії України розмножував самвидавом власні наукові розвідки — краєзнавчі дослідження «Цегляне диво», «Собор Святого Миколи», «Спомник Кобзарю» та ін.
Кімната С. Кожум'яки в музеї.
Чільне місце займали петиції-вимоги Степана Кожум'яки до Верховної Ради УРСР, Спілки письменників України, редакцій газет і журналів із вимогою «припинити дику дискримінацію мови багатомільйонного українського народу», а також поширення політично важливих документів. Зокрема, «Загальної декларації прав людини», «Міжнародного пакту про громадянські та політичні права» ООН; праці Івана Дзюби «Інтернаціоналізм чи русифікація?»; позацензурних віршів Василя Симоненка тощо.
Звернення Степана Кожум'яки до Спілки письменників. 1968 рік.
Кожум'яка ґрунтовно доводив об'єктивність процесу виокремлення України як незалежної держави і передбачив здобуття нею суверенітету. Важливе значення в його публіцистиці приділено українській інтелігенції, яка мусить чітко усвідомити своє місце в житті, твердо й повсякчас пам'ятати про обов'язки перед українським народом та суспільством.
Суржок М. Боролися і боремось... / М. Суржок // Новомиргородщина. – 2018. – 15 грудня. – С. 5 Про Степана Кожум'яку з нагоди 120-річчя з дня народження;
