Професійну кар'єру гравця Чайковський починав в загребському клубі «ХАШК», за який виступав до і під час Другої світової війни, а команда 1943 року стала віце-чемпіоном Хорватії, а наступного сезону вийшла до фіналу турніру, який не відбувся через воєнні дії[2], а сам Чайковський був головним гравцем клубу.
По закінченні війни клуб був розпущений (велика частина архівів згоріла в кінці війни, тому точну кількість матчів гравців встановити неможливо), і Чайковський перейшов в белградський «Партизан», який тоді був головним клубом Югославської народної армії. У першому післявоєнному сезоні 1945 року Чайковський приніс клубу друге місце в першості Югославії. У наступному сезоні 1946/47 років Златко провів 20 матчів і забив три голи, чого клубу вистачило для перемоги в чемпіонаті. Ще один титул Златко виграв у сезоні 1948/49 років, а потім виграв три Кубка Югославії (тоді він називався Кубок Маршала Тіто) в 1947, 1952 і 1954 роках.
У 1955 році Златко поїхав у «Кельн», в якому в першому сезоні провів 24 матчі і забив два голи. Всього він відіграв три сезони, додавши 29 ігор і 2 м'ячі в чемпіонаті (у кубку провів всього три гри і забив один гол).
Завершив професійну ігрову кар'єру у ізраїльському клубі «Хапоель» (Хайфа), за який виступав протягом 1958—1960 років.
Під час Другої світової війни він зіграв два матчі за команду Незалежної держави Хорватії: перша гра відбулася 1 листопада1942 року у Штутгарті проти німців і закінчилася переконливою перемогою господарів з рахунком 5:1. Друга відбулася 6 червня1943 року у Братиславі проти словаків, і там успіх святкували хорвати, вигравши 3:1.
1955 року змушений був припинити виступи за збірну в обмін на право виступати в закордонних клубах.
Кар'єра тренера
У Німецькій спортивній академії в Кельні Златко Чайковський навчався на футбольного тренера в групі під керівництвом професора Геннеса Вайсвайлера і успішно склав іспити, отримавши диплом.
У 1961 році Златко очолив «Кельн», з яким в першому ж сезоні виграв чемпіонат ФРН, вперше в історії клубу. Через рік після успіху Златко перехйшов в «Баварію», яку зумів вивести в Бундеслігу. З мюнхенцями Чайковський двічі виграв кубок ФРН у 1966 і 1967 роках, а потім і Кубок володарів кубків УЄФА 1966—1967, перемігши у фіналі шотландський «Рейнджерс».
В подальшому до 1976 року Чайковський очолював німецькі «Ганновер 96», «Кікерс» (Оффенбах) та «Нюрнберг», але лише з оффенбахцями зміг виграти ще один національний кубок. Також у сезоні 1970/71 недовго очолював «Динамо» (Загреб) зі свого рідного міста.
1977 року Златко очолив грецький АЕК, де пропрацював один рік, вигравши чемпіонат і кубок Греції. Після цього працював зі швейцарськими клубами «Цюрих» та «Гренхен», а також австрійським ГАКом (Грац), після чого ненадовго повернувся в АЕК.
Останнім місцем тренерської роботи був клуб «Аполлон», команду якого Златко Чайковський очолював як головний тренер до 1984 року.