Збіжність майже всюди — один з видів збіжності функцій у вимірних просторах або випадкових величин.
Визначення
Термінологія теорії міри
Нехай
— вимірний простір і
. Кажуть, що
збігається майже всюди (позначають
- майже всюди), якщо
![{\displaystyle \mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3e9e593a4127d03dfbef61f39dee65f36055cf)
Термінологія теорії ймовірностей
Якщо
— це ймовірнісний простір та
- випадкові величини, такі що:
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496acf436b0e8ee9a98cd5f241bcedfb600ba6db)
то кажуть що послідовність
збігається майже напевно до
.
Спрощений запис:
![{\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3116273485a4897daa89586e7cf7ea975abbdae0)
Еквівалентне означення:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\sup _{m\geq n}|X_{m}(\omega )-X(\omega )|\geq \varepsilon {\Big )}=0,\forall \varepsilon >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ee1c637cc519c126d7f5c5119f3a5b77ecb171)
Для загальних випадкових величин у метричних просторах означення аналогічне:
![{\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Big )}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca47de049ea97c9bc4810443f07f36f1f37950b)
Властивості
Джерела