Збіжність в Lp

Збіжність в ${\displaystyle L^{p}}$ в функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах — вид збіжності вимірних функцій або випадкових величин.

Визначення

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — простір з мірою. Тоді простір ${\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ вимірних функцій, таких что їх ${\displaystyle p}$-та степінь, де ${\displaystyle p\geqslant 1}$, інтегровна за Лебегом, є метричним. Метрика в цьому просторі має вигляд:

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{p}\equiv \left(\,\int \limits _{X}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mu (dx)\,\right)^{1/p}}$.

Нехай дана послідовність ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}}$. Тоді кажуть, що ця послідовність збігається в ${\displaystyle L^{p}}$ до функції ${\displaystyle f\in L^{p}}$, якщо вона збігається в метриці, визначеній вище, тобто

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=0}$.

Пишуть: ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$.

У термінах теорії ймовірностей, послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ збігається до ${\displaystyle X}$ з того ж простору, якщо

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} |X_{n}-X|^{p}=0}$.

Пишуть: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}X}$.

Термінологія

• Збіжність в просторі ${\displaystyle L^{1}}$ називається збіжністю в середньому.
• Збіжність в просторі ${\displaystyle L^{2}}$ називається збіжністю в середньоквадратичному.

Властивості збіжності в ${\displaystyle L^{p}}$

• Єдиність границі. Якщо ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$ и ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}g}$, то ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-майже всюди (${\displaystyle \mathbb {P} }$-майже напевно).

• Простір ${\displaystyle L^{p}}$ повний. Якщо ${\displaystyle \|f_{n}-f_{m}\|_{p}\to 0}$ при ${\displaystyle \min(n,m)\to \infty }$, то існує ${\displaystyle f\in L^{p}}$, такий що ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$.

• Із збіжності в ${\displaystyle L^{p}}$ випливає збіжність за мірою (за ймовірністю). Якщо ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$, то ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f}$.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.