Вихованець футбольної академії лондонського «Фулгема». За дорослу команду дебютував 25 вересня 2018 року в матчі третього раунду Кубка ліги проти «Міллвола»[1], ставши наймолодшим гравцем «дачників» в історії клубу: на момент дебюту йому було 15 років і 174 дні[2][3]. В англійській Прем'єр-лізі дебютував 4 травня 2019 року в матчі проти «Вулвергемптона» і став наймолодшим гравцем в історії турніру: на момент дебюту йому було 16 років та 30 днів[4].
28 липня 2019 року перейшов у «Ліверпуль»[5][6], а вже у серпні здобув свій перший трофей у клубі, вигравши Суперкубок УЄФА 2019 року, втім усю гру проти «Челсі» просидів на лаві для запасних[7]. Дебютував за клуб 25 вересня 2019 року матчі за Кубка ліги проти клубу «Мілтон-Кінз Донз»[8] у віці 16 років і 174 дні він став наймолодшим гравцем клубу, який розпочав офіційний матч за «червоних» основі, і другим наймолодшим, хто зіграв у офіційному поєдинку «Ліверпуля» після Джерома Сінклера[9]. Наступного місяця, під час матчу наступного раунду Кубка ліги проти столичного «Арсеналу» (5:5, 5:4 пен.), Елліотт знову вийшов в основі й став наймолодшим гравцем, який розпочав з перших хвилин домашній матч «Ліверпуля» у віці 16 років і 209 днів[10].